巧用和差积恒等式解竞赛题-论文.pdf

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1、．．．．；+。．。．．．。．．．．+．．．．．．．．。．。+。．。．。．．．．．．．．◆敢学大世界。．6．+。．．+。+．．。．；+。．。．。+。．。+差积恒等式解竞赛题竞赛园地⋯．蔓煎刿．壹铜_山_堕三堡兰⋯里J传亟完全平方公式(Ⅱ+b)：Ⅱ+2ab+b与(n一6)。=a-_o'所以，一，所以一，故n一2ab+b相减，即刻得到一个公式：(0+b)一(n—b)=4ab，并把它叫做和差积公式或和差积恒等式．(n一26+c)=0．它还可以写成(Ⅱ+b)=(n—b)+4ab或(0+b)2．求取值范围例4已知n、b、

2、f满足n+b+C：0，abc=8，则C的一4ab：(。一6)，下面举例说明它的应用．墩值范围是——．1．求值解：由Ⅱ+b+C=0，abc：8，得．0+b=一f，4ab=例1已知÷(6一c)=(。一6)(c一。)且。≠0，则32因为(“+6)一4Ⅱ6：(Ⅱ一6)≥0，所以C2—3_2>o，，一一‘————“所以f{，0或』{<0．，故c≥2或c<0．解：运用差积恒等式，得【rI>32【c≤32(b—c)=4(Ⅱ一b)(C—n)=(。一b+c—n)。一(0一3．分解因式b—c+Ⅱ)：(b—c)一(2a—b—c)例

3、5分解式：(1—7t一7t一3t)(1—2t一2t一所以(2。一6一c)：o,Nt：A2~：6+c，所以：2．f)一(￡+1)=——．解：原式=1[(4t+9￡+9￡～2)一(2t+5t+例2若n，6，c是实数，且n=2b+,／Y，。6+c2+5)一4(t’+2f+3￡+1)]÷：4鲁的值是=1[(4￡+9t+9￡一2)一(2t+6￡+6￡+2)一解：由n：26+，。6+譬c21=0，得，(2t+5f+5￡)]=113(2+5+st)(2+2￡+3￡一4)一(2+Ⅱ一2b=，8ab+佤+2=0，因为4Ⅱ·2b

4、=(Ⅱ+2b)一(0—2b)：(0+2b)一5￡+5￡)]2．所以1(2￡+5￡+5t(4t+4t+4t：一一12)(0+26)+c=0，于是c=0，故堕=0．=t(2t+5f+5)(t一1)(f+2f+3)．例3若0、b、c是实数，且。+b+c=，n+b+4．求最值c=4，贝4(n一2b+c)=——．例6实数、y,Z满足Y+：=5，xy+yz+=3，解：由条件的，0+b=一c，n+b=4一c，及4ab则的最大值是——．解：由条件得，+Y=5一z，=16一S3-c+4c，因为4ab=(。+b)一(n—b)，所

5、以(下转35页)16一+4c=(一c)一(o—b)，即(2一c)+鬟一一⋯一一一⋯一⋯一⋯一一贝0(+一)z：9，即X2+：7．③3～(>0)的值随着的增大越接近2．则推测正确的是——(填写序号)．设=A，分析本题以表格的形式列举几组分式值，要求学则1：+⋯7小s生作理性分析，估算所考查的分式值的范围．要求学生具备一定的观察能力，分析能力及准确的表达能力，体A=1·即原式=1．．．．现了中考“少考一点算，多考一点想”的命题理念．八、估算求值解：观察比较表格中的数据，发现随着z的增大，代估算是我们研究和处理有廷

6、数量问题时经常运用数式3一的值越来越小，越来越靠近2，但其值永远的一种思维方法，加强估算，培养数感是新课标的基本荽求．不可能等于2(因为一1<，即<1)，因此正确的例8晓晓根据下表，作了三个推测：表达推测的有①和③．11010010oO10o0综观以上几例，分式的有关求值问题，不再单纯只考查学生的计算能力，而是既考查法则、性质、算理的掌3一32．12．012．00l2．ooO握情况，又考查计算时的如细心、耐心等学习品质，还要求同学们在保证运算的正确性同时，要多思考，多动脑①3一(>O)的值随着的增大越来越小；

7、筋，让思考伴随着计算的全过程．相信在平时学习中，如果能切实注意以上要求，同学们的分析问题、解决问题②3一(>0)的值有II『能等于2；的能力会有所提高．(上接40贝)同理，得，b+≥，，+寺≥，以上三xy=3一z(Y)=3一(5一)=z一5z+3，因为(+)，)一4xy：(一，)≥0，式相加得++≥++．所以(5一z)一4(z一5z+3)≥0下面几题不妨一试：NI：I(3z一13)(+1)≤0，』听以一1≤z≤旱，1．已知a、b、C均为实数，且a+b=4，2c一ab=c当：y=了11时。=丁13一1O，那么a

8、b=——，c=——．，．2．把代数式(Y一2xy)(+Y一2)+(xy一1)分故的最大值为旱．解成因式的乘积，应当是一3．已知、Y是实数且满足+xy+Y一2=0，设5．证明不等式+。+。+。+；+。+。+。+．◆．。一一xy致+y学2大世界。．6腽．．。．。+。+。+。．。．；+。+．+；，则M的取值范围是——．例7若n、6、c(0，+*)，求证：b+cc+a+4．已知实数a、b、c满足：a+b+c