巧用欧拉公式解问题.pdf

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1、科技信息巧用欧拉公式解问题华南师范大学数学科学学院汤晓韵[摘要]欧拉公式将三角函数运算转化成复数域中的指数运算，在各类结合三角函数及指数函数形式运算中能起到很好的简化作用。而在涉及微积分运算时，与实变复值函数相结合更凸显其优越性，体现了实数域与复数域的和谐统一。[关键词]欧拉公式实变复值函数求和公式微积分函数方程欧拉公式（又称欧拉幅角公式）将指数函数的定义域扩大到复数，形式及运算步骤将简化得多。将复数、指数函数与三角函数联系起来，是“数学中的天桥”。欧拉公式2p2p+1例3求f1(x)=sinx和f2(x)=sinx的n阶导函数。

2、将实数问题扩大到复数域讨论，往往配合构造实变复值函数，通过实变分析：直接对高次三角函数f1(x)和f2(x)逐次求导将导致函数项数复值函数实部及虚部极限、求导、积分运算的相互独立性，巧妙地将问多及形式繁复，难以进行归纳。使用欧拉公式将原函数化为三角多项题简化。式，求高阶导数迎刃而解。实变复值函数函数定义及运算性质简要阐述如下[1]：解：用欧拉公式，有φ(t)和ψ(t)是定义在实数域的子集D上的实函数，令ix-ix2p2p2pe-e2p(-1)kixk2p-k-ix(2p-k)z(t)=φ(t)+iψ(t)，则称z(t)是定义在D上

3、的实变复值函数。实变复值函sinx=(2i)=2p∑C2pe(-1)e2k=0数作为复平面上特殊的向量函数，当φ和ψ分别是连续函数、可积函p2p(-1)k2p-ki2x(k-p)数、可导函数时，许多运算都与实变实值函数完全类似，有：=2p∑C2p(-1)e2k=0lti→mt0z(t)=lti→mt0φ(t)+ilti→mt0ψ(t)，z'(t)=φ'(t)+iψ'(t)，∫z(t)dt=∫φ(t)dt+∫ψ(t)dt(-1)p2p2ppkki2x(p-k)-i2x(p-k)=2p[(-1)C2p+∑(-1)C2p(e+e)]下面

4、给出欧拉公式在导出函数列求和公式、求高阶导数、积分运算、解2k=0函数方程中具体应用例子。p1p1kp-k1.导出求和公式=2pC2p+2p-1∑(-1)C2pcos2kx22k=0例1Sn=sinx+sin2x+⋯+sinnx，Tn=cosx+cos2x+⋯cosnx，于是可求导得到导出S、T求和公式。pnn(n)2p(n)n-2p+1knp-knπf1(x)=(sinx)=2∑(-1)kC2pcos(2kx+)分析：Sn和Tn是分析中常见的和式。例如求解Sn，常用的方法是k=02用半角函数2sin(x/2)乘Sn，再积化和差，

5、裂项相消，可得结果。具体过同理，2p+1ix-ix程[2]中已给出。使用欧拉公式，将两个和函数相结合化为指数形式的2p+1e-e2p+11kixk2p+1-k-ix(2p+1-k)sinx=(2i)=2p+1∑C2p+1e(-1)e等比函数列求和。由实变复值函数求极限运算，指数形式求解后取实(2i)k=0部及虚部即得S和T。2p+1nn1kkix(2p+1-2k)Sn=sinx+sin2x+⋯+sinnx=Im(1+eix+ei2x+⋯einx)=2p+1∑C2p+1(-1)e(2i)k=0i(n+1)x/2-i(n+1)x/2i

6、(n+1)x/2i(n+1)xe(e-e)p=Im(1-e)=Im()=1Ck(-1)k(eix(2p+1-2k)-e-ix(2p+1-2k))解：1-eixeix/2(e-ix/2-eix/2)2p+1∑2p+1(2i)k=0ni2xsin[(n+1)x/2]sin[nx/2]sin[(n+1)x/2]p=Im(e)∙=1p+kksin[x/2]sin[x/2]=2p∑(-1)C2p+1sin(2p+1-2k)x2k=0T=cosx+cos2x+⋯cosnx=Re(1+eix+ei2x+⋯einx)np(n)2p+1(n)1p+

7、knknπinx/2sin[(n+1)x/2]cos[nx/2]sin[(n+1)x/2]f2(x)=(sinx)=2p∑(-1)(2p+1-2k)C2p+1sin[(2p+1-2k)x+2]=Re(e)∙=2k=0sin[x/2]sin[x/2]推广：同理可得到(cos2px)(n)和(cos2p+1x)(n)。2.求高阶导函数3.积分运算例2求实函数f(x)=eaxcos(bx+c)和g(x)=eaxsin(bx+c)的n阶导数。例4（不定积分）求不定积分I=∫eaxcosbxdx和J=∫eaxsinbxdx，axaxax+i

8、(bx+c)F(x)=f(x)+ig(x)=ecos(bx+c)+iesin(bx+c)=e分析：一般可ab≠0。对f(x)和g(x)分别逐次求导，对导函数形式进行数学归纳，可得到n阶分析：一般教材使用分部积分法，进行两次分部积分后形成原函数导函数