clevereulerformula(巧妙的欧拉公式

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1、CleverEulerformula•Changsha••2011-4-9•巧妙的欧拉公式作者：刘伟（湖南师范大学数计院）摘要：欧拉公式在高等数学中有着很高的地位，巧妙地运用欧拉公式来解题有时可达到简洁、清晰之效果。本文主要从欧拉公式的推导及证明方面给出一些技巧、方法，以帮助大家更好的学习高等数学知识。关键词：五朵金花欧拉公式泰勒公式数学中有著名的“五朵金花”：0,1（都来自算术），i(来自代数学)，（来自几何学），e（来自分析学）。妙不可言的是这“五朵金花”居然同时绽开在一个公式——中，他发表在欧拉1748年的

2、名著《无穷分析引论》中。在这个“五朵金花公式”中，两个最著名的超越数结伴而行，实数与虚数熔于一炉，被誉为“整个数学中最卓越的公式之一”。那么，这个优美、简洁而神秘的式子是怎么来的呢？首先，我们利用微分学知识来简单的推导一下：用泰勒幂级数展开式将展开，就得到而，所以（1）这就是著名的“欧拉公式”。设欧拉公式中的，就得到5CleverEulerformula•Changsha••2011-4-9•即再设（1）式中的，就得到（2）由（1）（2）两式不难得到三角函数的复指数式形式：（3）（4）（5）值得一提的是，他们的“

3、样子”分别和双曲函数惊人的相似但却又有所不同：欧拉公式可以用来巧妙地解题，请看以下例题：【例】求的值.[1]解：由（3）式，则5CleverEulerformula•Changsha••2011-4-9•现在，我们再次证明在之前解题中大显神通的欧拉公式.在数学分析[2]中，我们已经知道由此可得（6）由于复数的三角函数式的幅角所以（7）再根据隶莫弗公式[3]有（8）结合（6）式对（8）式两边同时取极限，就有（9）以下分别求出（9）式中的两个极限：设，得到，当时，.由此得（10）5CleverEulerformula

4、•Changsha••2011-4-9•再设，就得到，且，当时，.于是有，（11）最后，将（10）和（11）式代回（9）式，就得到欧拉公式参考文献：[1].陈仁政.2005.不可思议的e.科学出版社[2].复旦大学欧阳光中等.2006.数学分析.高等教育出版社[3].同济大学.1998.高等数学.高等教育出版社复变函数论里的欧拉公式　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。　　e^ix=c

5、osx+isinx的证明：　　因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……　　cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……　　sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……　　在e^x的展开式中把x换成±ix.　　(±i)^2=-1,(±i)^3=∓i,(±i)^4=1……　　e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!……　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)　　所以e^±ix=cosx±isinx　　将公式里的

6、x换成-x，得到：　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：  5CleverEulerformula•Changsha••2011-4-9•sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：　　e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率  π，两个单位：虚数单位i和自然数

7、的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它5