欧拉公式的推导.doc

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1、欧拉公式eix=cosx+isinx中，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数里占有非常重要的地位！eix=cosx+isinx的证明：因为ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+……cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!……sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!……在ex的展开式中把x换成±ix.因为(±i)2=-1,(±i)3=∓i,(±i)4=1……e+ix=1+ix/1!-x2/2!-x3/3!+x4/4!……=(1-x2/2!+……)+i(x-x3/3

2、!……)所以e+ix=cosx+isinx，将公式里的x换成-x，得到：e-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(eix-e-ix)/(2i)cosx=(eix+e-ix)/2这两个也叫做欧拉公式。