细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

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1、万方数据第4期冯贤桂：细长压杆临界胝力欧拉公式的统一推导65一—————————————————————————一一化曲线由图中可见，当接近根部时一者有明显的分离．6结论(1)材料力学解Tz0在u／l<0142时可用，当大于0．142时误差将超过5％(2)当轴较短时，n8与-p将为同量级，材料力学解忽略“p，误差将非常大．(3)Michell解作为对材料力学解的改进具有表达式简洁的优点，但在根部还有一定的误差．而且仪能求解均布载荷问题．(4)级数解给f{{r完全满足边界条件的解，而且适用丁沿长度任意变化的分布载荷．但缺点是级数收敛较慢．参考文献l王敏中，乇炜，武际可弹性力学教

2、程．北京t北京大学m板衬20(12细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导冯贤桂(重庆大学工程力学系，重庆400044)摘要利用细长压杆微小弯曲的平衡条件，得到r压杆挠曲线近似微分方程，将挠曲线的初参数解用于几种常见支承条件的细长雎杆，可以方便地求得相应的临界压力欧拉公式．关键词细长压杆，临界压力，初参数解?{7够材料力学中对细长眶杆临界压力欧拉公式的推导，通常是分几种不同的支承条件，列出各自的挠曲线近似微分方程来求解．这种方法过程繁杂，教材中一般不可能全部推导证明．文献⋯1利用弯矩表示的弹性曲线近似微分方程和相应的力的边界条件，对不同支承条件下的乐杆临界压力欧拉公式作了统一推导但

3、是压杆稳定问题本质上是属于压杆整体变形效应M题，应在压杆微小弯曲平衡状态下计算临界眶力．仅利用力的边界条件来求解是不恰当的还应考虑到压杆端部的变形，这一点在文献[2】中已经指明．本文利用细长压杆微小弯曲平衡条件建立近似微分方程，得到了挠曲线初参数解及确定压杆临界压力的统公式，式中包含了压杆端部的力和变形的边界条件．利用统一公式可得到几种不同支承条件下压杆的临界压力．设有受轴向压力作用的细长压杆，最小抗弯刚度为EI，压杆长度为f(图1)取H{长为z的段压杆，不失一般性，还应考虑压杆横截面上的剪力，以及杆端的变形Ⅳ(o)，o(o)和杆端的剪力0(0)，弯矩M(o)，如图2所示．4

4、BPo—fI图12002-0819收到第1稿，2002-11—26收到修改稿1．!．1制∑y=0，Q(x)=q(o)，Bm。=0lM(x)=—Ⅵ(o)4-口(o)z—P阻一Ⅳ(o)】l1}()的弯矩M(。)代入艇杆弹性挠曲线近似微分方程jdj2y=ME(--宰)．可得暴+一PEIv=等dz24E，令n2=而P，上式可化为+罂z+面P蚋)(：2)嘉柑v=等+)x+n2y(。)式(3)即为压杆微弯弹性曲线近似微分方程，用初参数法求解，并注意到P=n2EI．可得”刮。)+掣sinnx+掣n』o(1-cosnx)+掣(T$3：-8咖)(4)万方数据竺查堂皇壁!!竺!竺!三兰此式即为压

5、杆弹性曲线表达式，式中掣(o)，日(o)，0(o)，M(O)分别为压杆在z=0处的挠度，转角、剪力和弯矩．将式(4)代入M(￡)=F，dd。2yy2，可得弯矩方程^f(。)：一!日(o)。innx+^f(o)COsn$+121堕sinnx(5)^f(￡)2一三。(o)s+^f(o)sn$+二号产(5)式(5)即为推导不同支承条件下细长压杆临界压力欧拉公式的基本方程式中同时含有压杆的力和变形的边界条件．其中弯矩、剪力、转角的符号采用文献[3j中的符号规定，(1)两端铰支压杆推杆受力如图3所示，边界条佳为i(O)=0，Q(o)=o，M(1)=0，代入式(5)，得到三日(o)sin

6、nl=0，由于o(o)≠o，故有sinnl=0，其最小根为nl="，所以n=7“-，。，p⋯⋯一，。一Ⅱ。EI由n22南得临界压力为Rr=兰笋·图3(2)两端固定压杆压杆受力见圈4，边界条件为q(o)=0，o(o)=0，M(1)=M(o)，代八式(5)，得到C08nl=1，此方程最小根为拈2州吣孚加2=丽P龇界励耻器圈4(3)端固定，一端自由压杆设。=0处为固定端，z=f处为自由端(图5)．边界条件为Q(O)=0，o(o)=0，M(1)=0，代入式(5)，可得u(o)COSnl=0，由于M(o)≠o，所以COSnl=0，其最小根州=扣n=扣界压力艮=器．。J，圈5【4)。端固

7、定，一端饺支压杆设z=0处为固定端，￡=I处为铰支端(图6)边界条件为o(o)=o，M(f)==0，Q(O)=Q(O，M(O)⋯Q(Z)z—Q(o)l，代入式(5)，得M(o)COS7％l+垦堕盟sin竹f=o，可以化简为tgnl=州，此方程最小根为nl=4494，n=一4．4i9—4，于是确临界压力只，=蒜．(0图60(fq(o、(5)一端固定，端定向点承压杆设。=0处为固定端，z=l处为定向土承，即不能转动，但沿水平方向可以滑动，轴向允许少量移动(图7)由变形的对称性可知，压杆两端的弯矩数值相等，但