细长压杆的临界力公式—欧拉公式..doc

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1、10.2细长压杆的临界力公式—欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力图9—4为两端受压杆件，人们经过对不同长度（），不同截面（I），不同材料（E）的压杆在内力不超过材料的比例极限时发生失稳的临界力Pcr研究得知：（9—1）式中：—圆周率；E—材料的弹性摸量；—杆件长度；—杆件截面对行心主轴的惯性矩。当杆端在各方向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最小的纵向平面内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截面最小的形心惯性矩Imin。瑞士科学家欧拉（L.Eular）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进行了研究。从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此

2、（9-1）式又称为计算临界力的欧拉公式。二、杆端支承对临界力的影响工程上常见的杆端支承形式主要有四种，如图9-5所示，欧拉进一步研究得出各种支承情况下的临界力。如一端固定，一端自由的杆件，这种支承形式下压杆的临界力，只要在（9-1）式中以2代替即可。（a）同理，可得两端固定支承的临界力为（b）一端固定，一端铰支压杆的临界力为（c）式（a），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统一的表达式（9-2）式中称为压杆计算长度，称为长度系数，几种不同杆端支承的各值列于表9—1中，反映了杆端支承情况对临界力的影响。例9.1图示轴心受压杆，截面面积为10mm20mm。已知

3、其为细长杆，弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。解：由杆件的约束形式可知：临界力：三、临界应力和柔度在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力，用表示。若压杆的横截面面积为A，则临界应力为：由式可知：令（9-3）于是临界应力的公式为：（9-4）称为压杆的柔度或长细比，它综合反映了压杆的长度、支承情况、截面形状与尺寸等因素，是一个无量纲的量。四、欧拉公式的适用范围欧拉公式是在材料服从胡克定律的条件下导出的，因此，压杆的临界力只适用于应力小于比例极限的情况。其条件可表示为：若用柔度来表示，则欧拉公式的适用范围为：（9-5）式中为时的柔

4、度值。工程中把的压杆称为细长杆（或大柔度杆），只有细长杆才能应用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应力。的大小与材料的力学性能有关，不同材料的值不同。如Q235钢，若取，代入上式可得，这意味着由Q235钢制成的压杆，只有在时才可以应用欧拉公式。例9.2有一长＝4.5m的压杆，截面为工字钢，一端固定，一端铰支，材料为Q235钢。。如图9-7所示，试计算压杆的临界力和临界应力。解：（1）计算压杆一端固定，一端铰支,。、为形心主惯性矩，。查型钢表得：，，。故压杆为细长杆。（2）计算（3）计算例9.3一中心受压木柱，长=8，矩形截面，bh=120mm200mm，柱的支

5、承情况是：在最大刚度平面内弯曲时（中心轴为y轴）两端铰支，如图9-8(a)所示，在最小刚度平面内弯曲时（中心轴为z轴），两端固定，如图9-8(b)所示，木材的弹性模量E=10GPa，=110，试求木柱的临界应力和临界力。解：（1）计算最大刚度平面内的柔度在此平面内，柱子两端为铰支，。（2）计算最小刚度平面的柔度在此平面内，柱子两端固定，所以。（3）讨论计算结果表明，木柱的最大刚度平面内柔度比最小刚度平面内柔度大，故木柱将在最大刚度平面内失稳。（4）计算临界应力和临界力因木柱为细长杆，可用欧拉公式：临界应力为：临界力为：