欧拉公式的应用(2)

《欧拉公式的应用(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、欧拉公式及在三角函数中的应用欧拉公式及在三角函数中的应用石工1309田旭新1748年，欧拉在其著作中陈述出公式，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化。(一)倍角和

2、半角的三角变换在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧：及．例1求证证左右所以原式成立．(二)积化和差与差化积的三角变换例2计算：解12欧拉公式及在三角函数中的应用.所以原式等于．(三)求三角表达式的值例3已知，求的值:解原式由代入上式消去原式对所以原式．12欧拉公式及在三角函数中的应用(四)证明三角恒等式例4证明为方便计算令,原式变为证明左边右边左边．例5求证：证明而．12欧拉公式及在三角函数中的应用(五)解三角方程例6解方程解把代入得：．由欧拉公式得：，经整理得：，，,，．所以，代入式得到，由此即得到方程的解．(六)利用公式

3、求三角级数的和在三角级数中，按常规方法求和常常是很麻烦的，有时甚至求不出结果．而欧拉公式：，很好的解决了这类问题．例7求三角级数的前几项和．解12欧拉公式及在三角函数中的应用．(七)探求一些复杂的三角关系式例8试把和分别表示成的线形组合．解，注意到，得到，故有在式中用代替得到12欧拉公式及在三角函数中的应用(八)解决一些方程根的问题例9证明方程至多有个根．证明令，设，则，,那么：故是关于的次多项式，所以由代数学基本定理知：方程至多有个根．例10设都是实常数，，若是方程的两个根，，不全为零．证明：．证明令，．则化为．由三角不等式

4、知12欧拉公式及在三角函数中的应用，所以复常数同理复常数又分别满足方程，即，．可见的系数行列式，从而必存在整数使得．(九)欧拉公式大降幂在高等数学中常会遇到高次幂的正余弦函数，这些函数在计算上很不方便，欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和，克服了高次幂函数在运算上的不方便．首先我们先介绍一下欧拉公式在三角函数中的降幂使用．1正弦大降幂：．12欧拉公式及在三角函数中的应用．．综上：正弦大降幂规则如下括号前的系数视的奇偶而定；当时系数为，当时系数为．括号内符号正负相同；当时括号内各项均为余弦，依次为．当时，括号内

5、各项均为正弦，依次为，．2余弦大降幂．12欧拉公式及在三角函数中的应用综上：余弦大降幂规则如下：括号前的系数为；括号内全部是号；括号内各项均为余弦；当时，依次为当时，依次为．3正余弦大降幂的应用(1)求傅里叶级数例11求的傅立叶级数解由于是为周期的连续函数，所以它的傅立叶级数展开式唯一，即：．(2)求阶导数例12求的阶导数解12欧拉公式及在三角函数中的应用(3)求积分例13求例14求解令，则：，，在上的值，．（十）三角函数的求积例15不查表，计算解12欧拉公式及在三角函数中的应用．（十一）条件等式的证明例16已知均为锐角且，．

6、求证．证明由，得到得：．由三角变换得：，因为均为锐角，所以也为锐角，即知，所以原式得证．12欧拉公式及在三角函数中的应用结束语欧拉公式在数学的许多定理和计算中,有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁．本文通过实例的形式说明欧拉公式在三角函数中的应用,在求三角表达式的值、证明三角恒等式、解决一些方程根的问题、求三角级数的和、解决高次幂的三角函数时,都应用到了欧拉公式,从而避免了复杂的三角变换,使得问题迎刃而解,在三角中的应用能够利用较为直观代数运算

7、使得问题得到解决．在探求一些复杂的三角关系时,如果不借助欧拉公式,而试图通过纯三角运算直接推导这些关系是相当麻烦的．本文在介绍欧拉公式时给出了欧拉公式的证明,应用到了极限的方法,不同于其它的定义复变指数函数和复变三角函数进行证明的方法．但不可避免的是：欧拉公式在证明某些恒等式时，却相对增加了计算量．因此，在证明三角恒等式时，要具体问题具体分析．12