欧拉公式教案-黎宁

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1、朝阳区骨干教师班公开课教案研究性课题：多面体欧拉定理的发现授课教师：北京市陈经纶中学黎宁授课地点：北京市陈经纶中学多功能厅授课班级：北京市陈经纶中学高二（5）班授课时间：2005年4月6日6研究性课题：多面体欧拉定理的发现北京市陈经纶中学黎宁教学活动目标：1．了解欧拉公式的发现过程，掌握欧拉公式的证明方法和公式内容。2．初步了解数学概念和结论的产生过程，提高发现、提出、解决数学问题的能力；发展学生的创新意识和创新能力；进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，协作交流能力。3．以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情；建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神；体

2、验数学的简洁美。教学活动的重点：欧拉公式的发现和证明教学活动的难点：1．欧拉公式的发现过程2．拓扑变换的想象和欧拉公式的证明3．学生探究的主动性教学活动的方法：完全开放式、自主探究式教学活动手段：多媒体、实物投影教学活动过程：一．课前准备1．布置指导：教师布置课题，简要介绍科学的研究方法，全班分成8个小组（各选一名组长，各确定一名主讲人），课题内容有4个问题，各小组可以从中任选一个或多个进行研究，具体任务有：（1）欧拉生平及欧拉主要研究成果（数学方面）。（2）模型制作：五种正多面体的模型。（3）证明公式：自主证明欧拉公式或查找关于欧拉公式的证明，其中两个小组研究课本上提供的两种证明

3、方法，另外两个小组寻找其他证明方法）。（4）资料搜索及研究相关问题：可以上网或通过图书馆等方式搜索有关的内容、资料，研究以下问题：①欧拉定理在研究化学分子结构中的应用（一个C606分子中，正五边形和正六边形各有多少个？）②为什么只有五种正多面体？③有没有棱数为7的简单多面体？1．讲解本次活动的评价标准：①小组成员是否全员参加；②学生自主探究、合作学习的能力；③课堂展示的水平、课堂交流与研讨的程度；④学生的创新意识。具体评价表：序号全员性（10分）分工与合作（20分）课件或模型（20分）课堂展示（30分）课堂交流与研讨（20分）总分评价方法：师生按照事先制定的评价标准共同评定。4、时

4、间安排：研究阶段（3月28日~4月4日）；4月5日进行课题研究成果汇总，并评选出优秀课题研究成果（要求制作成课件）；自4月6日起进行课题研究成果展评。一．课堂活动过程；（一）创设情景，提出问题1．创设情景足球在缝制过程中，需要很多张牛皮制作的正五边形和正六边形平面。已知将他们缝合以后成为一个多面体（充气以后变成球），这个多面体共有60个顶点，每个顶点处有3条棱。请问缝制一个足球需要多少个正五边形和多少个正六边形平面？假如有六十个碳原子，如何才能将他们组成一个完美的分子C60？它为什么又叫“足球烯”？的分子C60？——引出课题。2．复习提问：（1）什么叫正多面体？特征？（正多面体是一

5、种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。）（2）正多面体有哪几种？（正多面体只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。）6【学生研究小组展示自己制作的5种正多面体的模型。】为什么只有5种正多面体呢？瑞士数学家欧拉早在1750年就研究过这一问题，并得出多面体欧拉公式。【学生研究小组介绍数学家欧拉】欧拉在多面体研究中发现并证明了欧拉公式，下面我们就来沿着欧拉的足迹来探索这个公式。（二）观察归纳，提出猜想1．图1中有5个多面体，分别数出它们的顶点（Vertex）、面（Face）和棱（Edge）的个数，并填表。

6、（多媒体演示）正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030请找出简单多面体的顶点数、面数及棱数之间的规律。在个人思考、分组讨论，展示交流成果的基础上，归纳出：．2．进一步验证猜想：随意取几个棱柱或棱锥，上面猜想中顶点数、面数及棱数6之间的规律还成立吗？多面体顶点数面数棱数三棱柱659四棱锥558六棱柱12818经验证，仍有：观察下图中两个多面体，上面猜想中顶点数、面数及棱数之间的规律还成立吗？图（1）图（2）填表：多面体顶点数面数棱数图（1）558图（2）9916经验证，仍有：（三）辅以反例,深入探究是不是对所有的

7、多面体都成立呢？我们作进一步探究。观察下图中两个多面体，(图(3)为带洞的多面体)分别数出它们的顶点数、面数及棱数，并填表。图（3）图（4）多面体顶点数面数棱数图（3）121224图（4）7812显然这些图形不符合前面找出的规律。看来关系6不是对所有的多面体都能成立。它对于什么样的多面体成立呢？观察图（3）（4）中的多面体，并将他们与前面出现的多面体进行比较，你有什么发现？（四）.回顾反思,完善猜想【个人思考，分组讨论,代表发言】视情况教师可适当引导：如果以上多面体的