巧用方差解竞赛题.doc

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1、巧用方差解竞赛题设一组数据，，……，的方差为，平均数为，则有=+…+①或者=[(++…+)-]②由公式①不难得出方差的两条性质：性质1任何一组数据的方差都是非负数；性质2若一组数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于平均数．由于=(++…+)，因此公式②也可以写成=[(++…+)-(++…+)2]③运用方差的两条性质及公式③可以巧解一类竞赛题．例1(江苏省第二十届初中数学竞赛题)设，是正实数，且，当=__时，的最小值为____．解：视、为一组数据，则===．由性质1，得，即．故的最小值是．当且仅当=时取等号，

2、此时=．又∵，∴．∴=，即．∴=2，．例2(2005年全国初中数学联赛初赛试卷)已知，则的值是（）(A)0(B)3(C)(D)解：视、、为一组数据，则===0．由性质2，得===1．∴==1+1+1=3．故应选(B)．例3(江苏省第二十届初中数学竞赛题)正实数、、、满足，设+++，则（）(A)(B)(C)(D)与5的大小无法确定解：视、、、为一组数据，则====由性质1，得，．∵，∴．故应选(A)．例4(第十八届江苏省初中数学竞赛试题)：方程=0的实数解是_____.解：考察数据、，得==∵，∴．∵=0，∴．∴

3、．∴．∴=====∴+=0．又，，∴=0，=0．∴，=0．∴=1，．例5(美国第七届中学生数学奥林匹克竞赛题)已知、、、、是满足=8和=16的实数，试确定的最大值．解：视、、、为一组数据，则===由性质1，得．解得．∴的最大值是．