例说判别式的推广应用-论文.pdf

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1、《数理化解题研．~2014年第6期(目田J数学篇例说判别式的推厂广应压用片J浙江省宁波柴桥中学(315809)丁平●镩曩铺罐舡¨1q￥t‘豫螂黼掣强

2、憾t《

3、冁潞-鄹鼬臻罅n1．一道模考题引发的新问题化简后得16=0，即k=0，故仅有=±1为原方程根，本学期我校高三数学一模试卷第17题为“已知实数即该题的正确答案应为{一1，1}．2．2应用举例满足一2xsin争+1=0，则的值集为——·”此题例1若方程(10一2)x+2+lO一2=0有实根，试证实根在区间(0，lg2)u(is2，lg3)内．虽较新颖但并不难解(先配方成(—sin)+c0s{证明当10一2≠0时，

4、则△=4—4(10一2)≥：0，再应用正、余弦性质即得)，拟此题的初衷是为了考0，故(10一2)≤1，1≤10≤3，所以0≤≤is3；当1O查配方法与三角函数、集合等知识．但未料竞有近半学生一2=0时，即=is2，它非原方程的解．检验得=0和弃配方法而择判别式法(考后询知)，他们将常系数一元=lg3均非原方程的解．所以原方程的实根在(0，lg2)u二次方程的判别式随意迁移到变系数一元二次方程中(1g2，lg3)之内．来，得出如下解法：原方程有实根，必须且只需△=(一例2证明方程3+2(co一1)+2=0无实根．2sin)一4≥0，即(sin)≥1，但(sin)≤1

5、，证明假定原方程至少有一个实根，则必有△≥0①．因为△=⋯=4[(c0s一1)一6]，而ICOSXI≤1，所所以(s1‘n)=1，所以sin=±1，'IT=2k,rr±孚，以一2≤COS~；一1≤0，所以(co一1)一6≤4—6<0，所以△<0②．故得的值集为{I=4k±1，k∈Z}．①、②矛盾，故方程无实棍但此答案显然错误，如当k：1时，=3或5．把=例3求方程一2x’一5x+4+6=0的整数根．3代人原等式左边得3一2×3×sin÷叮r+1=16≠右边．解化原方程为(一2x一5)+4+6=0．令△导致错误的原因是不等式△≥0的解集非原方程的解集．≥0，即16—

6、24(x~一2x一5)≥0，即3一6—l7≤0，那末，对于这类变系数一元二次方程问题，我们能否用判解得1一l5≤≤1+15，其中整数=一1，0，1，别式解?即能否将判别式推广?如何推广?下文将要讨论．2，3，分别代人原方程检验知=一1和=3是方程的解．2．判别式在解高次、超越方程中的推广应用故原方程的整数根是=一1及=3．本文中，设o()，b()，c()均为的实函数，△()3判别式在有关不等式问题上的推广应用=b2()一4a(x)c(x)．3．1定理2定义在某实数集D上的函数，()=2．1定理1若方程8(x)x+6()+c()=a(x)x+b(x)x+c()，对于

7、D上任意一值．O()有实数解，则该实数解必是不等式a(x)≥0的解．(1)若均有口()>0且△()<0，则不等式)>简证当方程()有实根‰，使a(x。)≠0，则有0在．D上恒成立；a(x。)+b(x。)+c(x。)=0．经配方并整理后得[+(2)若均有口()<0且△()<0，则不等式)<．％+]2~>0,4a2(Xo)>0在D上恒成立；(3)若均有)>0且a()>0，则不等式△()<0，所以A(x。)≥0成立．当a(x。)=0时，显然有△(％)=0在D上恒成立；b(％)≥0．这表明，若。是方程()的实数解，则必(4)若均有)<0且口()<0，则不等式△()<是△(

8、)≥0的解．0在D上恒成立．推论设方程()的实数解集为肘，不等式△()证明(囿于篇幅，仅证(1))：≥0的解集为J7、r，则Ⅳ．即a(x)≥0有解仅是方程()有实数解的必要条)=口()+6()+c()=口()[+]件，而未必是充分条件，亦即△()≥0的解未必都是方程一()的解，故由△()≥0得到的解必须代入方程()进．因为∈DR，6()、口()ER且口()>0，行检验，以舍去增根．如前述模考第l7题由判别式法得到所以a()Ix+]≥0①．=4k4-1(k∈z)后尚须验根：将=4k-4-1(k∈Z)代二a人原方程得(4k±1)一2(4k4-1)sin-g“--(舶4

9、-1)+1=0，又因为△()<0，所以一>0②．数学篇《数理化解题研究年第6期(●【l1)由①、②得，(x)>o在D上恒成立．形，求证这三个正方形面积之和不小于AABC面积的3倦3．2应用举例证明设角A，B，C的对边分别为a，b，c，AABC的面例4试证：若a，b∈R(i=1，2，3)，则积为s，则由题意需证a+b+c2≥~,／YS．333∑口：·∑b：≥(∑口6)。因为0．2=62+c一2bccosA，S=÷6csinA，所以B+二证明：设ER，贝9(al一6l)+(a2一b2x)+(a3—6+c2—4：2b+2c一2bceosA一2i~bcsinA=2[b一6

10、3)≥0，