具边界相交交界面的拟线性椭圆方程组的挠射问题-论文.pdf

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1、踵数学物理学报http：／／actares．wipm．ac．cn具边界相交交界面的拟线性椭圆方程组的挠射问题谭启建潘朝毅(成都师范学院数学系成都611130)冷忠建f四川大学数学学院成都610064)摘要：研究有界区域上的n维拟线性椭圆方程组的挠射问题，其中方程的系数在交界面上允许间断，而且交界面允许与区域外边界相交．通过构造一个交界面与外边界不相交的近似挠射问题，利用估计和逼近方法，并讨论弱解的正则性，得到了问题解的存在性，并将这些结果应用到两种群Lotka-Volterra互惠模型．关键词：挠射问题；椭圆方程组；边界相交的交界面；逼近方法．MR(2000)主

2、题分类：35R05；35J60；35J55中图分类号：O175．25文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—777．121引言j2是(佗22)中的有界区域，其边界是Q．Q被交界面rl和r2分隔成三个子区域【2(¨，(2)和Q(，其中，r1和r2彼此不相交，r1与a【2相交，而F2与aQ不相交．本文考虑如下n维拟线性椭圆方程组的挠射问题：求向量函数w=w(x)三(W()，W。()，⋯，WⅣ())，使得{I一n1，l，l+bt(，)gZ()(∈[叫]r=0，[0(，叫，叫)()]r=0，7_=1，2，(·)lW一(X)(∈aQ)，f=1，2，·一

3、，Ⅳ，其中，成对的下标i或者J都意味着从1到礼求和，()三(／'()，／]2()，⋯，())是交界面r的法向，而符号r表示跨过r的跃度．以后称(1．1)式中在I、上的条件为挠射条件．挠射问题常出现在物理学，技术，生态学等不同的领域(见第5节和文献[1—8])．对于拟线性方程和方程组的挠射问题解的存在唯一性，当交界面与外边界不相交时，已经有些作者进行了研究．比如，在文献[6]中，Rivkind和Ural’tseva利用Leray—Schauder原理讨论了单个椭圆和抛物方程的挠射问题．在文献『7]中，Boyadjiev和Kutev又利用这一方法和比较原理研究了方程

4、组的挠射问题；文献f8-9]利用文献[7】的结果和上下解方法以及一些收稿日期：2012—10—28；修订日期：2013—12—19E—mail：tanqjxxx@163．corn(谭启建)基金项目：四川省教育厅自然科学基金(10ZC127)和成都师范学院科研基金(CSYXM12—06)资助778数学物理学报Vo1．34A估计，讨论了另外一些椭圆和抛物方程组的挠射问题解的存在唯一性．我们注意到，虽然文献【9]在讨论椭圆方程组的挠射问题时没有明确假设交界面与外边界不相交，但由于其在构造单调迭代序列时利用了文献【7]解的存在唯一性结果，所以，文献[9]解的存在性定理也

5、是只在当交界面与外边界不相交时成立．本文将讨论当交界面与外边界允许相交时椭圆方程组的挠射问题．将利用文献【9]解的存在性结论和文献f10]弱解的正则性结论以及逼近方法，构造一个交界面与外边界不相交的挠射问题作为近似问题，证明(1．1)式解的存在性．本文第2节给出定义，假设和主要结果；第3节构造问题(1．1)的近似问题，并讨论其解的一致估计；问题(1．1)解的存在性定理的证明在第4节给出；最后一节给出应用．2定义，假设和主要结果首先引进更多的记号．交界面r把Q分隔成两个子区域Q和Q)，而交界面r2把Q分隔成另外两个子区域【2和本文中，记号ccQ意味着QcQ且dis

6、t(f~，oa)>0．表示集合：D的闭包．以c(⋯)记依赖于括号中量的正常数，不同地方的常数C可以不同．(豆)表上指数为OZ(E(0，1))的H61der连续函数空间．以(【2)记内积为／／(，1、iV4-)dx√Q的Hilbert空间．而5(Q)记在迹意义下于f2上为0的(12)中函数全体构成的空间．对于Ⅳ分量的向量函数，上面对应的函数空间分别记为c“()，w{(Q)和；()．定义2．1称函数w为问题(1．1)的解，如果具有如下性质(a)wEc(Q)nc(())(0<<1)，wEc。(Q)，对任意给定的l2[cQ，wEc(QnQ()，且存在，0<<1，使得w∈

7、c(QnQ())，其中i，J=1，2，⋯，n，=1，2，3；(b)w在Q(J(=1，2，3)上满足(1．1)式中的方程，在rn【2(丁=l，2)和a【2上分别满足挠射和椭圆边界条件．本文作如下假设(H)(i)存在Oz0∈(0，1)，使得Q，F∈C_2+o(丁=1，2)．(ii)存在常向量M三(M1，M2⋯，)，m三(m1，m2，⋯，mⅣ)，满足gl(，M)0gl(z．m)(∈Q)，mc(z)jrfx∈aQ)，f：1，2，一，N．(2．1)记={w∈c(豆)：InwM)．(iii)对每一f∈{1，2，⋯，Ⅳ)，∥x)EC。(豆)nC+。(Q())．存在定义在豆××

8、的，x，W1函数。l,，