数形结合在高中数学中的应用

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1、92·内江师范学院学报第25卷(增)·JOURNALOFNEUIANGNORMALUNIVERSITY(2OlO)数形结合在高中数学中的应用陈凤，李娟，任苗(四川省内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641100)摘要：探讨了“以形助数”，效形结合思想的一个侧面，在处理集合、复数、函数、方程、不等式、数列、解析几何等高中数学问题中的应用．通过实例说明了用“以形助数”解题能达到简捷、明快的效果．关键词：数形结合}集合；复数；函数；方程；不等式；数列；解析几何中图分类号：G623．5文献标志码：A文章编号：1671—1785(2010)S1一O092—02数形

2、结合思想就是借助数量与几何图形之问的对应关(A)一条直线(B)两条直线(C)圆(D)椭圆系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．运用数解Jz—l=J3+4J一5，所以复数对应的点与复数形结合可以使一些抽象的数学问题直观化，达到化繁为简、：对应的点之间的距离为5．由圆的定义知，复数在复平化难为易，深刻揭示数学问题的本质．正如华罗庚教授所言：面上对应的点的轨迹是圆．故选C．“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂本题直接利用复数的几何意义求解，显得简捷明快．分家万事休”．三、数形结合在函数中的应用纵观多年高考数学试题，几乎年年都涉及到用数形结合

3、例3当z为何值时，函数3，=~／阿+~／；=有的思想方法解答高考试题的问题，其考查的重点主要是“以最小值，并求其最小值．形助数”．为此本文就“以形助数”在处理高中数学问题的妙解将函数的表达式变形：Y=~／(x-0)z+(0—3)。+用进行一些分析与总结．~／(z一5)。+(O+2)。，由此不难看出：当取某时，函数一、数形结合在集合中的应用的值等于P(z，O)到两定点A(O，3)、B(5，一2)的距离之和l例1(2009年湖南卷)某班共3O人，其中15人喜爱篮PAI+IPBI(如图2)，要使其和最小，只要使A、P、B三点共球运动，lO人喜爱乒乓球运动，8人对这两

4、项运动都不喜爱，口一，一O、则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．线．由点斜式，直线AB的方程为y-3-=i(～o)．令解如图1，记3O名学生组成的集合为U，喜爱篮球运=0，得z一3．即一3时函数有最小值．Ⅲi=动的学生全体为集合A，喜爱乒乓球运动的学生全体为集合F==5厄B．设两项运动都喜欢的学生为人，则只喜欢篮球的有(15Iv一)人，只喜欢乒乓球的有(10一z)人．依题意。(15一)+X+(1O—)+8—30，解得z一3．所以只喜欢篮球的有15—3—12人．／^(＼o，3＼)一＼P(，O)B(5，-2图2本题用常规方法求解比较困难，于是考虑其几何意义，

5、发现函数中的每一加式可表示为动点到定点的距离，于是利于几何关系巧妙地解答了此题．图1四、数形结合在方程中的应用此题借助韦恩图把数的信息转化为图形，利用图形直观例4若关于z的方程7x。一(m+13)+(m。一m一2)形象获得解答．一。的两根Xl，2分别满足O

6、一)，女，重庆合川人，内江师范学院数学与信息科学学院2007级2班学生。第25卷(增)陈凤，李娟，任苗：数形结合在高中数学中的应用·93·图像(如图3)可以看出，要使两根分别在(O，1)和(1，2)内，只等差数列前，z项和S是二次函数，根据二次函数图像需，(O)=m。一m一2>0，，(1)=m。一2m一8(0，，(2)=m。的性质(如图5)，由于∈N．所以当=5或=6时，S取一3m>0同时成立，解得一2

7、象直观解决问题．五、数形结合在不等式中的应用图6例7不等式(一1),(1og．x在z∈(1，2)上恒成立，求此题把部分和看成二次函数中自变量取正整数集的情口的取值范围．形，于是可利用图象特征巧妙解决问题．解令Y1=(z一1)，Y2=log．x，在同一坐标系中画处七、数形结合在解析几何中的应用Y1，Y2的图像(如图4)，要使对一切的z∈(1，2)，都有y2>例9(2009年四川卷)已知直线zl：4z一3+6—0和yl成立，就要使a>l，且y2≥1，易解得1<口≤2．直线如：一一1，抛物线Y=4x上一动点P到直线Z和直J线如的距离之和的最小值是()(A)2(B)3

8、(c)(D)’‘＼10解由抛物线的定义