数形结合在各模块中的应用

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1、数形结合思想在各模块中的应用武陟城关高中张志红所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，数学结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在高考中占有非常重要的地位。数形结合思想的应用包括以下两个方面：（1）“以形助数”把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；（2）“以数解形”把直观图形数量化，使形更加精确。一、数形结合思想在集合中的应用、在集合中（1）当集合的元素为有限个时，一般选用Venn

2、图，把集合中的元素直观的表示出来，观察Venn图时，要联想到集合的运算，这需要具备一定的读图能力。（2）当集合的元素是一个区间时，通常在数轴上表示出有关集合，借助于图形，直观地看出集合运算的结果或有关问题的解。例1（2011·安徽高考）集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}T={2，3，4}，则S∩(CUT)等于（）A.{1,4,5,6}B.{1,5}C.{4}D.{1,2,3,4,5}例2（2011·山东高考）设集合M={x

3、x2+x-6<0},N={x

4、1≤x≤3},则M∩N=()A.[1,2)B

5、.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]二、数形结合思想在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。　　例3.已知函数f(x)=log2(x+1),且a>b>c>0,则的大小关系是解析作出函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图，xcaob而的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知三、数形结合思想在方程与不等式中的应用：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系

6、相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。　例4若关于x的不等式的解集仅有一个元素，求的值。解：如图：在同一坐标系内，作出与的图象。题设条件等价于抛物线在直线与之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线上，故方程组仅有一组解。　即例5：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（）(A)5(B)7(C)9(D)10解析：（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，

7、值域为[0，1]的函数．又f(x)=lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。四、数形结合思想在三角函数中的应用：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。yx0CDAB例6、已知那么下列命题正确的是（）A、若、是第一象限角，则B、若、是

8、第二象限角，则C、若、是第三象限角，则D、若、是第四象限角，则分析考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角、的终边，∵OC为的余弦线，OD为的余弦线，则有知A错，依次判断知选D。　例7、已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ,k∈Z)，求证：.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义

9、是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即∴.　五、数形结合思想在线性规划问题中的应用：线性规划问题是在约束条件下求目标函数

10、的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。（1）线性规划问题中体现了数形结合思想，其一般步骤是首先确定约束条件的可行域，如三角形、四边形等；其次赋予目标函数与直线系的截距（纵截距与横截距）的几何意义，最后通过观察截距的取值范围，确定目标函数的取值范围或最值。（2）在一些实际问题中，如果遇到整数的条件，则要在可行域的范围内，逐步