数形结合在高中数学中的运用

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1、数形结合在高中数学中的运用数形结合思想是中国古代数学四人数学思想之一，它体现的不仅是简单的一种解题思路，而是代表了一个时期数学发展的最高成果；经过了几代数学家的努力，这种思想和教学原则已经广泛运用于中学数学的教学当中•本文先讲述了数形结合的内涵和重要性，接着从“以数解形”和“以形助数”两个方面利用具体题目探讨其在高屮数学教学屮的具体应用.一、数形结合的内涵和重要性数字与图形，作为高中数学中两个重要的信息载体，代表的是代数与几何两个学科的联系，各个学科之间是相互联系的，这样数形结合这个思想因此产牛•数形结合从字面上来看就是在解决较为抽象的数学问题时，通过对相对具体的图象分析

2、，间接的去解决原问题，这是一种从抽象到直观，从复杂到简单的过程；当然数形结合的思想远远不止这个方面，因为数和形之间并无主次、轻重的关系，数和形是可以相互转化的.总的来说数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在关系，既分析其代数关系又要揭示其几何意义，使得数量关系和几何表达式结合起来，将问题简化.二、数形结合在高中数学教学中的体现1・“以数解形”在很多的问题中，题日可能只是给了一个图形和简单的描述，这样对学生來说感觉就比较抽象，这时我们就需要根据图形找出尽可能多的隐含条件，利用代数运算去分析题H,这种类型的题H经常出现在函数和空间立体几何屮出现.例1如图1,已知ABC

3、D是上、下底边分别为2和6,高为3的等腰梯形，将它沿其对称轴001折成直二面角,如图2.1证明:AC丄B01；(2)求二面角()-AC-()l余弦的大小.2•“以形助数”与以数解形相对，当题目只是给出部分代数关系时，我们要将代数语言转化为儿何的语言，画出图象，根据图象反映出的问题求解，因为相比数字运算，直接的观察图象更加的直观，所以这个方法非常的实用，比以数解形用的更广.例2已知M={(x,y)

4、y=9-x2,yHO},N={(x,y)

5、y二x+b},P二MAN,P为单元素集合，求b的范围.例3如图所示，M为抛物线y2=4x±一点,F是抛物线的焦点，以Fx为始边,FM为终

6、边的角,xFM二60。；求

7、FM

8、・图5图6分析：这是一道典型的圆锥曲线中的求距离的问题，一般涉及到曲线上的点到焦点或准线距离时，可以根据定义，利用数形结合的思想求解，将解题直观化.解：如图6,过点M做准线的垂线MN,设x轴与准线1交与点G,过点F做FH丄NM,垂足为H,由抛物线的定义知

9、MF

10、=

11、MN

12、,设

13、MF

14、二x,在RtAIIFM中,

15、HM

16、=l/2x,则

17、NIl

18、二

19、MN

20、-

21、M川二12x,又

22、NH

23、二

24、GF

25、二2,故12x二2,x二4,即

26、MF

27、=4.注：教参上的解题过程是先求直线MF的方程，再将直线MF的方程与抛物线方程联立解出M的坐标，再利用两点间的坐标公

28、式求解，这种做法比较繁琐，计算容易出错，将“数”与“形”结合是亮点所在.通过对以上儿个问题的探讨，我们已经知道数形结合思想在解题中的魅力所在，在高中，从集合到函数，从函数到方程，再从方程到概率和立体几何都可以看到数形结合的广泛运用，作为一个重要的思想方法，教师在教学中要加强学生这方面的训练，使得学生在学习中不断的摸索，积累经验，提高知识的认知结构，同时增加学习的趣味性.[浙江师范大学(321001)]