概率论与随机过程2.2.ppt

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1、2.2离散型随机变量及其分布律通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量1．离散型随机变量定义设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离散型随机变量。定义设X为离散型随机变量，X的所有可能取

2、的值为xk(k=1,2…)，记X取xk的概率为P{X=xk}=pk(k=1,2,…)，则称下面一组等式P{X=xk}=pk(k=1，2，…)为X的分布律,简写为d.l.。2.2.1离散型随机变量及其分布律2．离散型随机变量的分布律（1）分布律可以用表格的形式表示：xn一般从小到大排列。XPx1x2…xn…p1p2…pn…（2）分布律可以用图形表示分布律的表示方法：PXx1x2xn…例．袋中5个球编号1－5，从中同时取出3个，以X表示取出球的最大编号，求X的分布律．解：P{X=3}=1/C35=1/10,P{X=4}=C23/C35=3/10,P{X

3、=5}=C24/C35=6/10X的分布律为XP3451/103/106/10由概率的性质可知分布律具有下述性质（1）非负性：pk≥0;k=1，2，…（2）规范性：证明:设离散型r.v.X的取值为x1,…,xn,…则事件组{X=x1}，…，{X=xn}，…构成了的一个划分。分布律的性质：（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：①设一离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk(k=1，2，…)由概率的可列可加性可得X的分布函数为这里的和式是所有满足xk≤x的k的求和。分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,…)处有跳跃，其跃跳值为pk=

4、P{X=xk}。分布律与分布函数的关系②已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率。例如，求事件｛X∈B｝（B为实轴上的一个区间）的概率P{X∈B}时，只需将属于B的X的可能取值找出来，把X取这些值的概率相加，即可得概率P{X∈B}，即因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概率分布情况。设一离散型随机变量X的分布函数为F(x)，并设F(x)的所有间断为x1,x2,…，那么，X的分布律为例1:设随机变量X的分布律为XP-1231/41/21/4求X的分布函数，并求解:由概率的有限可加性，得所求分布函数为（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X

5、的分布律：F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，在x＝－1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。-10123xP1例3已知随机变量X的分布律为X－2035P1/4a1/21/12试求（1）待定系数a，（2）概率P{X>－1/2}。即可求得a=1/6。解:（1）由分布律的性质可知(2)伯努利(Bernoulli)概型考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑）两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地，试验E只有两种结果A和A,而P(A

6、)=p（0

7、现，而在其余n-k次试中不出现的概率为pk(1-p)n-k=pkqn-k而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的可加性注:由于恰好是展开式(p+q)n中的第k项，所以常称为二项概率公式。例1:对某种药物的疗效进行研究，假定这药对某种疾病的治愈率0.8，现有10个人患此病的病人同时服用此药，求其中至少有6个病人治愈的概率。解:假定“病人服用此药后治愈”为事件A，按题意P(A)=0.8，10人同时服用此药可视为10重伯努利试验，因而由公式所求的概率为例2:某厂生产的过程中出现次品的概率为0.002，求在该厂生

8、产的1000件产品中恰好有10件次品的概率。解:设A表示事件“该厂生产的一件产品为次品”，则P（A）=0.0