概率论与随机过程(I)

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1、2.3连续型随机变量及其概率密度11.定义设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数，简称为概率密度。例如：在[0，1]取点的例，设X为取得点的坐标，则随机变量X的分布函数为2.3.1连续型随机变量及其概率密度2,则X为连续型随机变量。2.连续型随机变量的分布函数F(x)性质（1）连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。（2）对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即P{X=a}=0。事实上，设X的分布函数为F(x)，则P{X=a}=F(a)-F(a-0)而

2、F(x)为连续函数，所以有F(a-0)=F(a)，即得：P{X=a}=0.这里P{X=a}=0，而事件{X=a}并非不可能事件。就是说，若A是不可能事件,则有P(A)=0；反之，若P(A)=0，A并不一定是不可能事件。同样的，对必然事件也有类似的结论。3（3）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有P{a

3、否为概率密度。几何意义：曲线y=f(x)与x轴之间的面积等于1．f(x)xo4(3)X落在区间(x1，x2]的概率几何意义：X落在区间(x1，x2]的概率P{x1

4、(x)为概率密度的原因，它反映了概率在x点处的＂密集程度＂。4．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系：(1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x).6注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。例1:设随机变量X具有概率密度(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。解:(1)由于，解得k=3.于是X的概率密度为7(2)从而8例2:确定常数A，B使得函数为连续型随机变量X的分布函数，并求出X的概率密度及概率P{-1

5、。解:由分布函数的性质知所以B=1.又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2于是X分布函数为：9X的概率密度为101．设连续随机变量X具有概率密度则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b).若XU(a，b)，则容易计算出X的分布函数为2.3.2三种重要的连续型分布：11f(x)及F(x)的图形分别如:f(x)abxF(x)1abx12例1:设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧—1100欧。求R的概率密度及R落在950欧—1050欧的概率。解:按题意，R的概率密度为13注释均匀分布的

6、特性：若XU(a，b)，对于任意的区间(c，c+l)(a，b)，则就是说在同样长的子区间内概率是相同的，这个概率只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位置。(2)我们现在能把一个区间[a，b]上随机地选取一个点P的直观概念加以精确化。简单地说就是所选取的点P的坐标X在[a，b]上是均匀分布的。14区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.如取n足够大，独立产生n个U(

7、0,1)随机数，则从用这n个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0,1).15162.指数分布设连续型随机变量X具有概率密度为其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。容易验证:指数分布的分布函数为17f(x)及F(x)的图形λf(x)x1F(x)x指数分布的一个重要特性是“无记忆性”：设随机变量X满足：对于任意的s>0，t>0,有则称随机变量X具有无记忆性。18设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则因此P{X>s+t

8、X>s}=P