概率论与随机过程(I)

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1、一、概率的统计定义2事件的概率2.频率的性质(1)0fn(A)1;(2)fn()=1;(3)设A1，A2，.....Am两两互不相容，则有1.频率的定义在相同条件下，将实验进行了n次，在这n次实验中，事件A发生的次数nA称为事件A的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。2．概率的统计定义由于当实验次数n较大时，频率fn(A)=nA/n会稳定于某一常数p，因此可将A的概率定义为:P(A)=p。在大量实验中，随机事件发生的频率具有稳定性。分析:当n充分大时，fn(A)稳定在某数p的附近；另一方面，若事件A出现的可能性愈大，则它出现的频率也愈大。则将p

2、作为P(A)是合理的。问题：n很大时，频率值能否作为概率值？局限性：（1）不能对任一事件都去通过大量实验来确定概率；（2）即使做了大量实验也难以获得频率的稳定值。（3）不严格，无法进行数学推理。定义的意义：（1）应用中提供了求事件的概率的近似值的方法，可用n充分大时的频率作为概率的近似值。（2）检验一种理论方法是否正确。1．定义若试验E具有特点（1）试验的样本空间的元素只有有限个,比如n个，样本空间表示为={e1,e2,…,en}；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同．则称试验E为古典概型（或等可能概型）．概率的计算：若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为，且

3、A含有k个样本点．则事件A的概率就是二、古典概型概率的定义2．性质（1）对于每一个事件A，有P(A)0；（2）P()=1；（3）设A1，A2，.....Am是两两互不相容的事件，即对于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,......m,则有(3)设样本空间含n个基本事件,Ak含有rk(n)个基本事件，k=1,2,,m,由古典概型概率的定义由于A1，A2，.....Am两两互不相容，则证明:(1)(2)显然成立。3．例题例1：1-6数码，任取不同的两数码构成两位数,求这两个数都是偶数的概率。小结：在古典概型中，求事件A的概率关键在于寻找基本事件的总数和事件A所

4、含的基本事件个数。这时，往往要利用乘法、加法原理及排列组合的知识。解：属于古典概型，与两数的顺序有关是排列。A：取两个数都是偶数。则(一)取球问题袋中共有N个球，N1白，N2红，采用摸后“不放回”“放回”两种方式任取出a+b个球，试求这a+b个球中恰含a个白b个红的概率。解：[不放回]试验从N个球中取出a+b个球，有两种理解（1）一次取出a+b个球；（2）一个一个取，不放回，取a+b次；三类问题：按(1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计算样本点总数：设A：a+b球中恰有a个白b个红，把A发生的过程分为串行的两步：在白球中取a个球，再

5、在红球中取b个球按乘法原则所含样点是按（2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取a+b个球是有顺序的，构成a+b个球的一个排列，样本点总数：A的发生可分解为如下过程：在这a+b个球的位置上，选a个位置放白球，剩下的放红球，样本点数：方法二：[放回抽样]一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数：Na+b所以，所求概率为：由乘法、加法原理，A所含样本点数为:（分析同（2））n个球，随机的放入N个盒（n≤N），每盒容量不限，观察放法：(1)某指定的n个盒中各有一个球A1,求P(A1)；(2)恰有n个盒中各有一球Ａ2,求P(A2);(3)某指定的盒子中恰有

6、k个球A3,求P(A3).(3)P(A3)=(2)P(A2)=(1)P(A1)=(二)放球问题解:试验:一个一个放n个球入N个盒,每种方法构成了一种可重复的排列，于是例:设每人的生日在一年的任一天是等可能的，求任意r个人生日各不相同的概率P(A).解:由放球模型所以，至少两个人生日相同的概率为:p=1-P(A),计算如下：r202330405064100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997例：1—N个数字任取k个数字，一个一个的取，取后放回，求：（1）A：k个数字完全不同；（2）B：不含1，2，……，N中指定的r个数字；（3）

7、C：某指定的数字恰好出现m（≤k）次;（4）D：k个数字中最大数恰好为M。解：试验为从1，2，……，N个数中有放回地依次取k个数字，每k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此基本事件总数为Nk。（三）随机取数(4)在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最大数不大于M-1的取法有(M-1)k种。（1）因k个数字完全不同，实际为不重复的排列，基本事件个数为：(2)同理(3)同理例：取球，袋中a个白球，b个红球，一一取出，不放回，求事件Ak={第k次取出白球}的概率。解：试验为将a+b个球编号一一不