概率论与随机过程课件

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1、1.3条件概率1.3.1条件概率与乘法公式直观上，用来表示在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小的数，称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。记为P(A

2、B).例设有100件的某一批产品，其中有5件不合格品，而5件产品中又有了3件是次品，2件是废品。现任意在100件产品中抽取一件，求1）抽得的是废品的概率；2）已知抽得的是不合格品,它是废品的概率。解：令A表示“抽得的是废品”这一事件，B表示“抽得的是不合格品”这一事件按古典概率计算易得：由此看到P（A）≠P（A

3、B）本例中条件概率P（A

4、B）是根据条件概率的直观意义计算出来的，但一般地，条件概率如何定义呢？通过简单

5、的运算得：上述关系具有普遍意义：(1)从古典概率看：(2)从频率的稳定性上看：设实验E做了n次，令：nA,nB,nAB分别表示事件A,B及AB在n次试验中发生的次数，那么nAB/nB表示在B发生的那些结果中，A又出现的频率，即：已知B发生的条件下，A发生的条件频率fn(A

6、B)。如果n足够大，fn(AB)接近P(AB),fn(B)接近P(B),则nAB/nB接近P(A

7、B),因此，在统计概率中上式亦成立。1．定义:设A，B是两事件，且P(B)>0，称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.注（1）若P(A)>0，同样可定义（2）条件概率P（•

8、B）满足概率定义的三条公理，

9、即1.对于每一事件A，有P（A/B）≥0;2.P（

10、B）=13.设A1，A2……两两不相容，则有P（Φ

11、B）=0P（A

12、B）=1−P（A

13、B）P(A1∪A2

14、B)=P(A1

15、B)+P(A2

16、B)−P(A1A2

17、B)等等概率所证明的重要结果都适用于条件概率，例如：(3)P（A）与条件概率P（A

18、B）的关系：P(A)>P(A

19、B)，P(A)

20、B),P(A)=P(A

21、B)这三种关系都有可能成立。后一种情况就是以后讨论的独立性。一般有两种方法：(1)由条件概率定义：P(A

22、B)=P(AB)/P(B)（在原样本空间中求P(AB)、P(A)）(2)按古典概型公式：P(B

23、A)

24、=NAB/NA（在压缩后的样本空间中考虑）例1：100件产品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件废品。在100件中任意抽一件。求（1）抽得是废品B的概率;（2）已知抽得的是不合格品A，它是废品的概率P(B

25、A)。例2一次掷10颗色子，已知至少出现了一个1点，求至少出现两个1点的概率。解设A:掷10颗色子，至少出现一个1点，B:掷10颗色子，至少出现两个1点，C:掷10颗色子，恰出现一个1点。则：B=A-C,且AB,AC.由古典概型：又P(B)=P(A)-P(C),于是所求概率为()()()().565366516510651)

26、(10101010101

27、01091010-´-=-´--===APBPAPABPBAP2.乘法公式由条件概率定义，若P(B)>0，则P(AB)=P(A

28、B)P(B)若P(A)>0,则P(AB)=P(B

29、A)P(A)上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B

30、A)P(C

31、AB)这里，注意到由假设P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，则有:P(A1A2…An)=P(A1)•P(A2

32、A1)…•P(An-1

33、A1A2…An-2)•P(An

34、A1A

35、2…An-1)例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。解：设Ai表示第i次取到黑球在利用条件概率求无条件P时，条件P往往用古典概型计算。例2.设某同学眼镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率。解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。因为B=Ā1Ā2Ā3，故有P(B)=P(Ā1Ā2Ā3)=P(Ā1)P(Ā2

36、Ā1)P(Ā3

37、Ā1Ā2)=(1-1/2)(1

38、-7/10)(1-9/10)=3/200法二，按题意B=A1∪Ā1A2∪Ā1Ā2A3而A1，Ā1A2，Ā1Ā2A3是两两互不相容的事件，故有P(B)=P(A1)+P(Ā1A2)+P(Ā1Ā2A3)例3:设袋中装有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解:以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则Ā3，Ā4分别表示事件第三、四次取到白球。则所