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1、概率论概要§1.1概率空间（Ω,F,P）一.随机试验试验试验是对自然现象进行的观察和各种科学实验.随机试验随机试验是对随机现象所进行的观察和实验。随机试验的特点特点::(1)(1)可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行;;(2)(2)可以弄清试验的全部可能结果可以弄清试验的全部可能结果;;(3)(3)试验前不能预言将出现哪一个结果。试验前不能预言将出现哪一个结果。概率论概要二二..样本空间和随机事件样本空间和随机事件概率论概率论集合论集合论样本空间Ω事件子集事件发A生ω∈A事件不A发生ω∉A必然事件Ω不可能事件φ概率论概要概率论集合论事件AB发导发生致生A⊂B事件与至少
2、有一AB个发生A∪B事件与同AB时发生A∩B(AB)事件AB发发生而不生A−B事件与互不相AB容AB=φ事件与相互AB对立AB=φ且A∪B=Ω概率论概要三.可测空间定义:设E是一个随机试验,样本空间为Ω，由样本空间的子集组成的集类F，若：1)Ω∈F2)若A∈F则A∈F∞3)若Ai∈F()i=1,2,3....则∪Ai∈Fi=1称F为σ－代数。称（Ω,F）为可测空间。概率论概要四.概率与概率空间定义:设（Ω,F）为可测空间，在F上定义实值函数P(A)满足：1)0≤P()A≤1,A∈F2)P(Ω)=1∞∞⎛⎞3)Ai∈F()i=1,2,....,AiAj=φ;有P⎜⎜∪Ai⎟⎟=
3、∑P()Ai⎝i=1⎠i=1称P为（Ω,F）上的概率测度，简称为概率。定义:由Ω,F和P组成的三元体（Ω,F，P）称为概率空间常见的概率空间有古典概率空间，条件概率空间等。概率论概要概率空间概率的基本性质:1.P(φ)=0;2.(有限可加性)若试验E的事件组A1,A2,…,An互不相容,则有nn⎛⎞P⎜⎜∪Ai⎟⎟=∑P()Ai⎝i=1⎠i=13.对立事件概率和为1,即P(A)+P(A)=14.(概率单调性)若事件A和B满足A∩B,则有P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)成立概率论概要5)(概率加法定理):P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)概率论概要
4、（（多除少补原理多除少补原理）设）设AA1，，AA2，，……，，AAn为为试验试验EE的任的任意意nn个事件，有个事件，有nn+1P()∪ASSSin=−+−+−123"(1)Si=1nSP1=∑()Ai其中其中i=1SP2=∑()AijA1≤<≤ijnSP3=∑()AijkAA1≤<<≤ijkn"SP=()AAA"nn12概率论概要6)(连续性)∞()1若且A123⊃⊃⊃AA.....,∩AAin=,则limPAPA()=()i=1n→∞∞()2若且A123⊂⊂⊂AA.....,∪AAin=,则limPAPA()=()i−1n→∞五.条件概率定义定义：设A，B是随机试验E的
5、两个随机事件，且P(B)>0，称P(AB)P(A
6、B)=P(B)为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。概率论概要乘法公式：设P(B)>0，则有P(AB)=P(B)P(A
7、B)若P(A)>0，有P(AB)=P(A)P(B
8、A)。全概率公式设随机试验E的样本为Ω，A⊂Ω，B1，B2，…，Bn为Ω的一个有限划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;则有nP(A)=∑P(Bi)P(A
9、Bi)i=1概率论概要贝叶斯公式设随机试验E的样本为Ω，A∈F，B1，B2，…，Bn为Ω的一个有限划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;则有P(Bj)P(A
10、Bj)P(Bj
11、A)=n∑P
12、(Bi)P(A
13、Bi)i=1概率论概要六.独立性定义（事件的独立性）:设A，B∈F若P(AB)=P(A)P(B)称事件A与B相互独立。性质1：若事件A和B相互独立，则下列三对事件A，B；A，B；A，B也相互独立。性质2：A与B相互独立⇔P(BA)=P(B)⇔P(AB)=P(A)⇔P(BA)=P(BA)概率论概要性质3：若A1，A2，…，An相互独立，则将A1,A2…，An中的任意多个事件换成它们的对立事件后，所得到的事件仍然相互独立。性质4设独AA,,...,A相互立，则12nnP()AA12∪∪∪=−...Ani1∏PA()i=1概率论概要§1.2随机变量及其分布一.随机变
14、量定义：设（Ω,F，P）为概率空间,若定义在样本空间为Ω上的实单值函数X=X(ω),ω∈Ω满足{ω
15、X(ω)
