概率论与随机过程课件 1.4

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1、1.4事件的独立性1.4.1.两个事件的独立性若P(A

2、B)=P(A)，称事件A独立于事件B。若P(B

3、A)=P(B)，称事件B独立于事件A。定义1.4.1设A，B为两事件，如果具有等式P（AB）=P（A）P（B）则称A,B为相互独立的事件,又称A,B相互独立。性质（1）若事件A与事件B相互独立，则A与B、Ā与B、Ā与B也相互独立。（2）若P(A)>0，P(B)>0，则A，B相互独立，与A，B互不相容不能同时成立。因为若它们同时成立，则P(AB)=P()=P(A)P(B)=0，与P(A)>0，P(B)>0矛盾。（3）设A，B是两事件，且P(A)>0

4、(P(B)>0)，则A，B相互独立的充要条件是P(B

5、A)=P(B)(P(A

6、B)=P(A))。证明：只证若事件A与事件B相互独立，则A与B相互独立。由于BA=A-AB，ABA,而P(AB)=P(A)P(B)，从而P(BA)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(B)所以，A与B相互独立。1.4.2两个以上事件的独立性定义1.4.2设A，B，C是三事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).则称三事件A，B，C两两独立。一般，当事件A，B，C两两独立

7、时，等式P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不一定成立，例如：例1:假设我们掷两次骰子,并定义事件A,B,C如下A=“第一次掷得偶数”，B=“第二次掷得奇数”，C=“两次都掷得奇数或偶数”。证明A,B,C两两独立,但不满足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)证明:容易算出P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=0.从而具有等式P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C)所以A,B,C两两独立.容易看出P(ABC

8、)=0≠P(A)P(B)P(C)定义1.4.3设A，B，C是三事件，如果具有等式则称A，B，C为相互独立的事件。一般地，设A1，A2，…An是n个事件，如果对于任意k(1

9、事件也相互独立（1≤m≤n）。注：若事件是独立的，则许多概率的计算可以大为简化，例如若A1，…，An相互独立，则A1，A2，…，An同时发生的概率为P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。性质例2:若A1，A2，…，An相互独立，且P（Ai）=Pi，i=1,2,…,n,求A1,…,An这n个事件至少有一个发生的概率。解:所求的概率例3：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有2n个元件，其中系统Ⅰ先串联后并联，系统Ⅱ先并联后串联。求两个系统的可靠性大小并加以比较。A1B1A2B2BnAn系统ⅠA1B1A2B2AnBn系统Ⅱ解：Ⅰ.设Ai表

10、示第i个元件正常工作。P(A)：Ⅰ中第一条支路的可靠性，P(B)：Ⅰ中第二条支路的可靠性。所以A∪B表示Ⅰ正常工作（并联）同理P(B)=rn所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠⅡ第一对元件可靠性P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二对元件的可靠性P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,……第n对元件的可靠性P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2于是RⅡ=[r(2

11、-r)]n=rn(2-r)nⅢ比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。当n>1时:2-rn<(2-r)n.例4:要验收一批（100件）乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰有4件是音乐不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解:设以Hi（i=0,1,2,3）表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色

12、不纯”，H0,H1,H2,H3是的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”。已知一件音色纯的