概率论与随机过程2.4

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1、在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=的分布.例如，已知圆轴截面直径d的分布，引言又如已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.2.4随机变量的函数的分布这类问题的一般提法是：若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数)。为了求Y的分布，首先我们要理解Y是一个怎样的随机变量，设X是定义在样本空间Ω={ω}上的随机变量，那么Y=Y(ω)=g(X(ω))，由此可见Y亦是定义在Ω上的随机变量，它是经过g(.)与X(.)复合而成的

2、。设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。此时，只需由X分布律求得Y的分布律即可。X-10123P2/101/101/103/103/10求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X2的分布律.例:设离散型随机变量X的分布律为一、离散型随机变量函数的分布解:由X的分布律可得下表P2/101/101/103/103/10X-10123X-1-2-1012-2X2-20-2-8-18由此可见(1)Y=X-1的所有可能取值为-2,-1,0,1,2，且P{Y=-2}=P{X=-1}=2/10;

3、P{Y=-1}=P{X=0}=1/10；P{Y=0}=P{X=1}=1/10;P{Y=1}=P{X=2}=3/10；P{Y=2}=P{X=3}=3/10。故得Y=X-1的分布律为Y-2-1012P2/101/101/103/103/10(2)Y=-2X2的所有可能取值为-18,-8,-2,0;且P{Y=-18}=P{X=3}=3/10;P{Y=-8}=P{X=2}=3/10；P{Y=-2}=P{X=1}+P{X=-1}=1/10+3/10=2/5;P{Y=0}=P{X=0}=1/10；故得Y=-2X2的

4、分布律为Y-18-8-20P3/103/102/51/10一般地，我们先由X的取值xk，k=1，2，…求出Y的取值yk=g(xk)，k=1，2…①如果诸yk都不相同，则由P{Y=yk}=P{X=xk}可得Y的分布律；②如果诸yk中有某些取值相同，则把相应的X的取值的概率相加。二、连续型随机变量函数的分布再由FY(y)进一步求出Y的概率密度设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量，若Y是连续型随机变量，考虑求出Y的概率分布。1．一般方法可先求出Y的

5、分布函数FY(y)：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设ly={x

6、g(x)≤y}则例1:设随机变量X具有概率密度求Y=2X+1的概率密度.解:先求Y的分布函数计算的关键在于确定积分区间ly，即解不等式g(x)≤y得出x的解区间ly。这种方法我们称之为分布函数法。当1≤y<9时，0(y-1)/2<4，当y≥9时FY(y)=1,由此可得Y的概率密度为当y<1时，(y-1)/2<0FY(y)=0y=2x+1xy1409例2:设随机变量X具有概率密度fX(x)，求Y=X2的概率密度。解:先

7、求Y的分布函数FY(y)。由于Y=X2≥0，故当y≤0时FY(y)=0。当y>0时，有于是得Y的概率密度为例如：设X~N(0，1)，其概率密度为则Y=X2的概率密度为此时称Y服从自由度为1的χ2分布。当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下面结果设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，则Y=g(X)的概率密度为定理其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，2.特殊方法证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+∞)

8、严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，FY(y)=P{Y≤y}=0；当y≥β时，FY(y)=P{Y≤y}=1；当α0(或恒有g(x)<0)，此时若g(x)<0,同理可证例3:设随机变量XN

9、(μ，σ2),试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。证明：X的概率密度为现在y=g(x)=ax+b，由这一式子解得x=h(y)=(y-b)/a由定理得Y=aX+b的概度密度为所以Y=aX+b~N(aμ+b,(a)2)特别，在上例中取a=1/,b=-μ/得例4:设电压V=AsinΘ，其中A是一个已知的正常数，相角Θ是一个随机变量，在区间(-/2,/2)服从均匀分布，试求电压V的概率密度。解:v=g(θ)=Asinθ