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《高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.4用向量讨论垂直与平行一二三思考辨析一、空间中的垂直关系1.线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直.2.面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直.3.三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直.4.三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线a垂直于平面外的一条直线b,那么a垂直于直线b在平面上的投影.一二三思考辨析名师点拨1.三垂线定理及其逆定理中的“平面内”这个条件不能省略,否则不一定成立,需要进一步证明.2.三垂线定理及其逆定理的区别:(1)从两个定理的条件和结论上区分,三垂线
2、定理是“线与投影垂直⇒线与斜线垂直”,逆定理相反.(2)从两个定理的作用上区分,三垂线定理解决已知“共面直线垂直⇒异面直线垂直”,逆定理相反.一二三思考辨析【做一做1】下列命题中,正确的命题是()A.若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在α内的投影,则a⊥bB.若a是平面α的斜线,平面β内的直线b垂直于a在α内的投影,则a⊥bC.若a是平面α的斜线,b是平面α内的一条直线,且b垂直于a在α内的投影,则a⊥bD.若a是平面α的斜线,直线b平行于平面α,且b垂直于a在另一平面β内的投影,则a⊥b解析:A错,直线b可能不在平面α内;B错,直线b在平面α内时才成立;C对;D错,射影应为在平面α内的射影
3、,故选C.答案:C一二三思考辨析二、空间中的平行关系1.线线平行判定定理若平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行.2.线面平行判定定理若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行.3.面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.一二三思考辨析【做一做2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定答案:B一二三思考辨析三、利用方向向量、法向量判断线面的位置关系设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α
4、,β的法向量分别为u,v,则有:名师点拨1.用向量法判定(或证明)线面平行与垂直,实质就是转化为证明直线的方向向量与平面的法向量的垂直与共线.2.直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,在运用时应以运算简便为标准进行选择.一二三思考辨析【做一做3】设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则()A.l∥αB.l⫋αC.l⊥αD.l⫋α或l∥α答案:D【做一做4】若平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均错解析:∵平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),∴v=
5、-3u,∴u∥v,∴α∥β.答案:A一二三思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)一个平面的法向量都是同向的.()(2)平面的法向量与该平面内的所有向量都是垂直的.()(3)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行.()(4)若两个平面的法向量的坐标分别为n1=(0,-2,3),n2=(1,a,b),则这两个平面不可能平行.()(5)若两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.()(6)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.(
6、)×√×√×√探究一探究二探究三思维辨析求平面的法向量【例1】已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立空间直角坐标系,求平面SAB,平面SDC的一个法向量.思维点拨:由题意知AD⊥平面SAB,可直接写出坐标,求平面SDC的法向量可用待定系数法.探究一探究二探究三思维辨析解:取A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵SA⊥平面ABCD,AD⫋平面ABCD,∴SA⊥AD.又∵四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,∴AD⊥AB,令x=-2,则y=1,z=-1,∴n=(-2,1,-1),即平面SDC的一
7、个法向量为n=(-2,1,-1).探究一探究二探究三思维辨析反思感悟平面法向量的确定通常有两种方法:(1)直接寻找:若能根据已知条件找出该平面的一条垂线,则可直接写出法向量.(2)待定系数法:当平面的垂线不易确定时,可以利用待定系数法求解,具体步骤如下:探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α的一个法向量.解:∵A(1,2,3)
