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1、第四章日常生活中的数学模型§4.2铅球投掷的模型0一.背景、问题：投掷圆直径=2.135m，有效扇形45，坻趾板10×10cm，铅球重16磅=7.264kg。运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。以铅球落地点与投掷圆间的距离测量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？二.模型与分析：1.抛射体模型：假设：1.铅球是个质点。2.忽略空气阻力。3.出手角度与出手速度无关。变量、参量：出手角度a，出手高度h，出手速度v=(vcosa,vsina)，投掷远
2、度s。先分析铅球出手后的运动过程；在x-y坐标系中铅球运动的轨迹为(x(t),y(t)).由力与运动平衡关系（牛顿定律）得：22dxdy=,0x)0(=,0x′)0(=vcosα=−g,y)0(=h,y′)0(=vsinα22dtdt有解:x(t)=(vcosα)t2−gx12y(x)=22+(tanα)x+hy(t)=(vsinα)t−gt+h2vcosα2铅球落地点为(s,0)解得模型I:s=s(v,h,α).2222vsin2αvsin2α2vcosαs=+()+2h2g2gg检验:0姓名v(m/s)h(m)a
3、()s(m)实测李梅素13.751.9037.6020.6820.95李梅素13.522.0038.9620.2220.30斯卢皮13.772.0640.0021.2521.41基本吻合分析:1.最佳出手角度:显然函数s(v,h,a)是变量v和h的单调增函数，关于变量a的极大值点满足方程∂s/∂a=0，即：42222cos2αvsin2α+8hgvcosα+vsin2αcos2α−2ghsin2α=0化简可得:gcos2α=2g+v/h因此，0≤a≤π/4,给定出手高度h,最佳出手角度a随出手速度v增大而增大。给定出
4、手速度v，最佳出手角度a随出手高度h增大而减小。2.最佳投掷模式:给定出手高度h、出手速度v从而可以计算最佳出手角度aopt=a(v,h)和相应的投掷距离s=s(h,v,αopt).这样构成最佳的铅球投掷模式。hv101112131414.5151.940.4841.1641.7142.1542.5142.7642.8011.9514.1116.4819.0521.8123.2724.782.040.2840.9941.5542.0142.3942.5542.7012.0314.2016.5719.1421.902
5、3.3624.872.140.0840.8241.4041.8842.2742.4442.5912.1214.2916.6519.2922.0023.4624.973.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析问题：h,v,α这三个因素中哪个最重要，即哪个参数变化对投掷距离s影响最大？归结为参数的灵敏度分析。这里采用模型对参数的极差分析方法：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差rs=smax-smin。当h=1.9m时,Vα37383940414243rs1011.8911.9211.9411.9511.95
6、11.9411.920.061114.0114.0514.0914.1114.1214.1214.100.111216.3116.3816.4316.4616.4816.4816.470.171318.8018.8918.9619.0119.0419.0519.040.251421.4821.5921.6821.7521.7921.8121.820.341524.3624.4924.6024.6824.7424.7824.780.42rs12.4712.5712.6612.7312.7912.8412.86出手速度改
7、变引起投掷距离变化的极差：12.47~12.89m出手角度改变引起投掷距离变化的极差：0.05~0.42m出手高度改变引起投掷距离变化的极差：0.16~0.22m结论：1.出手速度最重要。02.出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的。但在最佳出手角度上下2范围内远度的变化很小。不必过分准确。3.在前面的基础上，尽量提高出手的高度。2.铅球投掷模型问题：1.李梅素的数据0h=1.9m，a=37.6，v=13.75m/s，s=20.95m0最佳值a=42.43理论值s=20.68m0h=2.0m，a=39.7，v=13.
8、52m/s，s=20.30m0最佳值a=42.37理论值s=20.22出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，但投掷的远度减小了。出手的速度随着出手角度的增加减小了！女子铅球的技术特征:滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。2.铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、
