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1、第四章日常生活中的数学模型§4.2铅球投掷的模型铅球的投掷一.背景、问题：投掷园Ø7呎=2.135m，有效扇形450，坻趾板10×10cm,铅球重16磅=7.264kg。运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？二.模型与分析：1.抛射体模型：铅球出手后的运动过程假设：1.铅球是个质点。2.忽略空气阻力。3.出手角度与出手速度无关。变量、参量：出手角度α，出手高度h，出手速度v，出手时间t，投掷
2、远度s。坐标系：（x，y）铅球运动的轨迹为(x(t),y(t)).平衡关系：力与运动的牛顿定律有解模型:铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标检验:姓名v(m/s)h(m)α(0)s(m)实测李梅素13.751.9037.6020.6820.95李梅素13.522.0038.9620.2220.30斯卢皮13.772.0640.0021.2521.41分析:1.最佳出手角度:求函数s(α)的极大值点满足方程化简可得给定出手高度,最佳出手角度随出手速度增大而增大。给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减小。2.最佳投掷模式给定
3、出手高度h、出手速度v从而可以计算最佳出手角度α。这三个量就构成最佳的铅球投掷模式。hv101112131414.5151.940.4841.1641.7142.1542.5142.7642.8011.9514.1116.4819.0521.8123.2724.782.040.2840.9941.5542.0142.3942.5542.7012.0314.2016.5719.1421.9023.3624.872.140.0840.8241.4041.8842.2742.4442.5912.1214.2916.6519.2922.
4、0023.4624.973.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析参数变化对模型值的影响。模型对参数变化率的分析。模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差。373839404142431011.8911.9211.9411.9511.9511.9411.920.061114.0114.0514.0914.1114.1214.1214.100.111216.3116.3816.4316.4616.4816.4816.470.171318.8018.8918.9619.0119.0419.0519.040.
5、251421.4821.5921.6821.7521.7921.8121.820.341524.3624.4924.6024.6824.7424.7824.780.4212.4712.5712.6612.7312.7912.8412.86出手速度：12.47~12.89出手角度：0.06~0.42出手高度：0.16~0.22模型s(v,h,α)在点(v0,h0,α0)关于参数v,h,α的灵敏度。S(s,v)=(Δs/Δv)0(v0/s0)关于α在α0=400处，对不同的v有00.030.050.060.070.09关于v在v=12
6、处，对不同的α有1.831.841.911.861.861.871.87结论：1.出手速度最重要。2.出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的.但在最佳出手角度上下20范围内远度的变化很小。不必过分准确。3.在前面的基础上，尽量提高出手的高度分析问题：1.李梅素的数据h=1.9m,a=37.60,v=13.75m/s,s=20.68ma=42.40，s=20.95mh=2.0m,a=39.70,v=13.52m/s，s=20.22a=42.40s=20.30m出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，但投掷的远度减小了。出手的速度随着
7、出手角度的增加减小了！2.铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。是运动员投掷铅球过程中用力过程的综合的结果。需要组建铅球投掷的模型。2.铅球投掷模型假设：1.滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。2.在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。3.在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。参量:v0初速度,t0用力时间,F推力,m铅球质量。发力期间平衡关系：模型令t=0时开始用力，t=t0铅球出手。在区间[0，t0]积分模型，可得由此可得铅球的出手
8、速度检验:αvhs李梅素40.2713.162.2019.40隋新梅39.0013.952.0421.66李梅素38.6913.512.0020.30黄志红37.7513.582.0220.76李梅素37.6013.751.9020.95李梅素35
