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1、第34卷第2期数学的实践与认识Vol134No122004年2月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYFeb.,2004电法勘探中的数学模型胡建德(中央民族大学信息与计算科学系,北京 100081)摘要:文章介绍了地球物理勘探中大地电磁法(MT)在二维构造上的数学模型和正反演方法,也给出了可控源音频大地电磁测深(CSAMT)的二维正演数学模型.关键词:大地电磁;CSAMT;Backus2Gilbert线性反演[1]电法勘探是综合地球物理勘探方法中的基本方法之一.电磁测深方法是用变频进行测深的一个电法勘探分支.利用天然电磁场(由太阳辐射的变异、大
2、气圈下层电荷的移动、[1,2]雷雨放电等产生)做场源的称为大地电磁(测深)法(MT),使用人工电磁场做场源的称为可控源频率测深法.电磁场以电磁波的形式向地下传播时,不同的频率对应着不同的电磁波长和穿透深度,场强随深度的增加而衰减.电磁测深方法观测不同频率的电磁波在地表的响应,即电磁场的水平分量,来推导或反演地球内部的岩石电性结构,以适应矿产普查或构造研究的需要.本文给出了二维构造条件下MT响应的数学模型和正反演方法和以线电流源为激发源时二维构造上电磁响应(CSAMT)的数学模型及正演算法.1 二维构造条件下的MT数学模型取如图1所示的二维构造区域,设二维构造走向为X
3、轴向,则电阻率Q分布只沿Y和-iXtZ两个方向上变化.在每一种岩层内部,电阻率是各向同性的.如果以e表示电磁场随时间变化的关系,并考虑到大地电磁场主要是由电磁感应引起的,用实用单位制,则麦克斯韦方程可表达为¨×E=iXLH(1.1)¨×H=RE(1.2)¨õH=0(1.3)¨õE=0(1.4)式中E,H分别表示电磁场强度,R电导率,X圆频率,L磁导率.由于电阻率沿走向X是稳定的,对于垂直入射的平面电磁波,有5E5H==0(1.5)5x5x将(115)代入(111)(112)的展开式中,可得如下两组相互图1 二维构造示意图独立的偏振波收稿日期:200320422828
4、数 学 的 实 践 与 认 识34卷5Ez5Ey5Hx5Hx-=iXLHx,=REy,=-REz(1.6)5y5z5z5y5Hz5Hy5Ex5Ex-=REx,=iXLHy,=-iXLHz(1.7)5y5z5z5y(116)和(117)式分别称为TM波和TE波方式,并可化为如下的霍姆赫兹方程:TE方式:225Ex5Ex2+2=-iXLREx(1.8)5y5zTM方式:515Hx515Hx+=-iXLHx(1.9)5yR5y5zR5z适当地选取边界条件,则(118)和(119)式可表达为如下形式的泛函极值问题,即求225V5V22J(V)=∫∫a+a+bVdydz+(c
5、V-dV)ds(1.10)85y5z∫#最小.式中V表示Ex或Hy,在8上合理地作网格剖分,用有限元法可求出节点上的V值,[2—4]进而计算断面上的大地电磁响应.2MT资料的二维反演计算方法为构造反演算法,引入如下响应函数:15Ex15HxV=U=(2.1)Ex5zRHx5z 则(1.8)和(1.9)分别变为25V215Ex+V+2+iXLR=0(2.2)5zEx5y5U21515Hx+RU++iXL=0(2.3)5zHx5yR5y设当R=R0时,V0和Ex,0满足方程(212),U0和Hx,0满足方程(213).令R=R0+DR,V=V0+DV,U=U0+DU(
6、2.4)由于趋肤效应,场的垂直梯度一般较水平梯度大很多,因而将(212)(213)中{}项用R0对215Ex,01515Hx,0应的2和近似代替,则两方程变为只对z微分的黎卡提方程:Ex,05yHx,05yR05y25V215Ex,0+V+iXLR+2=0(2.5)5zEx,05y5U21515Hx,0+RU+iXL+=0(2.6)5zHx,05yR05y将(214)式代入上式并忽略DV,DU的二次项,则有5DV+2V0DV+iXLDR=0(2.7)5z52DU+2U0RDU+U0DR=0(2.8)5z其解为:2期胡建德:电法勘探中的数学模型29∞12DV(z)=2
7、iXLEx,0(l)DR(l)dl(2.9)Ex,0(z)∫0∞2115Hx,0(l)DU(z)=2DR(l)dl(2.10)Hx,0(z)∫0R0(l)5l上式的积分限实际上是从地表z=0到某一深度即8的下边界Zmax,在此深度电磁场已近似衰减为0.令z=0则Zmax12DV(0)=2iXLEx,0(z)DR(z)dz(2.11)Ex,0(0)∫0Zmax5H211x,0(z)DU(0)=2DR(z)dz(2.12)Hx,0(0)∫0R0(z)5z56地球的导电性可以有10到10级次的变化,令m(z)=-lnR(z),则Dm(z)=-DR(z)öR0(z).令
