定积分与其它数学知识的交汇与整合.pdf

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1、46(2011年第4期·高中版)·复习参考·定积分与其它数学知识的交汇与整合441000湖北省襄阳市第一中学王勇周雪丽凸显知识交汇，考查综合能力，是高考命题的一个重要思路．定积分作为高中课改的新增内容，如何将它与传统知识有机整合，实现新而不难，新而不“凡”，是高考命题值得研究的一个方向．如果此类试题设计得恰到好处，既可提升“定积分”在整个高中数学体系中的地位，又可强化相应数学知识的横向联系，使定积分从高等数学和谐地融入初等数学．下面从实施新课标地区的解析由已知条件可得阴影部分的面积ttππ高考模拟题

2、中采撷数例并予以深度解析，旨在探索题型S=∫－πcosxdx=sinx

3、－π=sint+1(t∈［－，］)，2222规律，揭示解题方法．ππ1定积分与方程的交汇与整合即S=g(t)的图象为y=sint(t∈［－，］)的图象222例1已知f(x)=ax+bx+c(a≠0)，且f(－1)=2，向上平移1个单位所得，故选C．1f'(0)=0，∫f(x)dx=－2，求a，b，c的值．0点评本题考查定积分的几何意义、微积分基本定分析根据三个条件列出三个方程，解方程组即可理以及三角函数图象变换的能力．求出a，b

4、，c的值．例3用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设解析由f(－1)=2得，a－b+c=2，①11f(x)=min{，槡x}(x≥)，则由函数f(x)的图象，x轴又f'(x)=2ax+b，∴f'(0)=b=0，②x4112而∫0f(x)dx=∫0(ax+bx+c)dx1与直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为14131211=(ax+bx+cx)=a+b+c=－2．③32032．由①，②，③联立解得a=6，b=0，c=－4．解析由题意，得点评本题主要考查函数知识间的联系，同时考查1槡

5、x(≤x≤1)，了导数、定积分等基本运算能力．解答本题的方法是:根4f(x)=在据题设条件，列出方程组，通过解方程组求a，b，c的值．{1(1≤x≤2)．x2定积分与函数的交汇与整合平面直角坐标系中作出函例2在函数y=cosx，数f(x)的图象，所求的面图2ππx∈［－，］的图象上有一22积为图2中的阴影部分，包括边界．点P(t，cost)，此函数图象与1212312∴所求面积S=∫1∫dx=x2+lnx

6、x轴及直线x=t围成图形4槡xdx+1x3114图1(如图1中阴影部分)的面217=(1－)+

7、ln2=+ln2.积为S，则S关于t的函数关系S=g(t)的图象可表示为3812点评本题是一道信息迁移题，领悟新信息的实质是正确求解的关键．注意到所给函数是一分段函数，故求积分时要注意利用积分的性质将其分成几段分别计算．3定积分与不等式的交汇与整合22223例4若a=∫0xdx，b=∫0xdx，c=∫0sinxdx，则a，b，c的大小关系是·复习参考·(2011年第4期·高中版)47A．a＜c＜bB．a＜b＜c分基本定理可求出S10=1，再利用等差数列的性质不难C．c＜b＜aD．c＜a＜b求出S30

8、．本题表面考查的是定积分的计算和等差数列2x3282x4223的性质，实质是对创新能力的深入考查．解析a=∫0xdx==，b=∫0xdx==4，334005定积分与二项式定理的交汇与整合22kc=∫0sinxdx=－cosx0=1－cos2．因为1＜1－cos2＜2，所以x3例7设k是一个正整数，(1+)的展开式中xkc＜a＜b，故选D．12点评利用微积分基本定理求出a，b，c的值，注意的系数为，则函数y=x的图象与y=kx－3的图象所围16c=1－cos2的范围的界定用到三角函数的性质．本题难易成

9、图形的面积为．适中，符合新课标对定积分的考查要求．rxr3311解析Tr+1=Ck()，令r=3，得x的系数为Ck·3，例5若f(x)=ax+b(a≠0)，且∫0f(x)dx=1．求证:kk12211y=x，∫［f(x)］dx＞1．30由题意得C·=，解得k=4．由解得函数k3{－3k161111y=4x2解析由于∫0f(x)dx=∫0(ax+b)dx=(ax+bx)220y=x的图象与y=4x－3的图象的交点的横坐标分别为111，3．=a+b，所以a+b=1．22∴所求的面积为1122所以∫［f(

10、x)］dx=∫(ax+b)dx330022134S=∫(4x－3－x)dx=(2x－3x－x)=．11332221=∫(ax+2abx+b)dx0点评本题首先利用二项式的展开式的通项公式112322122=(3ax+abx+bx)=3a+ab+b求出k值，然后利用定积分的几何意义和微积分基本定01211理求出两函数图象所围成图形的面积，体现了在知识交22=(a+b)+a=1+a．21212汇点处设计试题的高考命题思想．11226定积分与极限的交汇与整合又∵a≠0，∴1