曲线积分与定积分的关系

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1、曲线积分与定积分的关系若物体所受的力F和物体移动的距离x都是常量，那么力所做的功W可以直接通过将F与x相乘来计算：W=Fx例如，一个物体在力F=4N的作用下从0m处移动到了6m处，移动了x=6m的距离，那么所做的功W=Fx=24J。如果F是变量，且F随x变化而变化，即F=F(x)，那么在计算功的时候就不能直接将F与x相乘，应该改用定积分计算：W=x1x2Fxdx(1)其中x1为起始位置，为x2结束位置。例如，如果F=x2(N)，那么所做的功：W=06x2dx=72J(2)如果x是变量，且x随F变化而变化，即x=x(F)，那

2、么：W=F1F2xFdF值得注意的是，在(1)中，如果F是一个常数，或者是一个与x无关的式子，那么由不定积分Fdx计算出的原函数就是Fx，相当于没有使用积分运算，直接用了乘法运算。另外，F与x相乘得到的是W，如果与dx相乘的话得到的就是dW。即：Fx=W,Fdx=dW。如果物体移动的路径是一段曲线，且F在平面直角坐标系中的每一个点上都有一个确定的值，那么所做的功应该用第一类曲线积分计算：W=LFx,yds在上面的例子中，物体是沿直线运动，在平面上看是从(0,0)处运动到(6,0)处。如果把直线看作曲线，那么W还可以用第一类

3、曲线积分来计算。其中二元函数F(x,y)=x2（力的大小与坐标的对应关系），L为从(0,0)到(6,0)的一段直线。因此：W=Lx2dsL的方程为y=0，按常规方法，将x坐标作为参数，写出参数方程：x=ty=0(t为参数,且0≤t≤6)求导后：x'=1y'=0根据第一类曲线积分的计算公式，x2=t2ds=x'2+y'2dt=dtW=Lx2ds=06t2dt将积分变量t换回x，得W=06x2dx可见，式子又变回了(2)式。这表明，定积分其实就是特殊的曲线积分。换句话说，定积分就是直线积分。如果把曲线沿逆时针方向旋转45°，且

4、不改变曲线的长度，那么计算出的功应该还是72J。yx63232此时力与坐标的对应关系也发生了变化：Fx,y=x2+y2积分曲线L变为从(0,0)到(32,32)的一段直线，方程为y=x。因此：W=Lx2+y2ds(3)此时如果想要通过曲线积分的计算公式将(3)式化为(2)式，就必须要适当地选取曲线L的参数方程中的参数t，使ds=dt，这样t的范围就还是[0,6]。我们可以将L上的点到原点的距离作为参数t，这样L的参数方程为：x=22ty=22t因为L上的点离原点的最近距离为0，最远距离为6，因此0≤t≤6，这样就确定了积分

5、的上下限。x'=22y'=22x2+y2=12t2+12t2=t2ds=x'2+y'2dt=dtW=Lx2+y2ds=06t2dt=06x2dx如果我们按常规方法计算(3)式，也就是选取x为参数，我们就不能将(3)式化为(2)式。虽然计算结果都是72J，但是我们却改变了定积分的上下限，且被积函数也跟着发生了变化。请看计算过程：x=xy=x(0≤x≤32)其中32为图中x坐标的最大值。x'=1y'=1x2+y2=2x2ds=x'2+y'2dt=2dtW=Lx2+y2ds=03222x2dx=72J可见，被积函数变成了22x2

6、，这样我们反而看不出曲线积分和定积分到底是什么关系了，因为这样的变换使问题转化成了求力Fx=22x2使物体从x=0处移动到x=32处所做的功。上面提到的力都是用数量F表示的，只表示了力的大小，并且所有的结论都是在假定了力的方向始终和速度方向（也就是运动曲线在当前点处的切线方向）相同的条件下得出的。而实际上力F是向量，既有大小又有方向。这个时候，如果F和位移x（也是向量）都是常量，那么功W=F⋅x，其数量关系是W=Fxcosθ，其中θ为两个向量间的夹角。如果我们只知道力F的水平和竖直方向的两分量的大小，例如：θFxFyxF那

7、么此时合力F=Fx+Fy，功W=F⋅x，其数量关系为W=Fxcosθ，其中θ为合力F与位移x的夹角。同时，我们也可以认为总功等于这两个分力所做的功之和，也就是W=Fx⋅x+Fy⋅x，其数量关系为：W=Fxxcosα+Fyxcosβ如图：FxFyxαβABO也就是W=OA⋅OB⋅x，因为Fx和Fy在垂直于x的方向上是不做功的。从上式中提出x，得W=Fxcosα+Fycosβ⋅x(4)因此，我们也可以认为整个过程实际上是力F0=Fxcosα+Fycosβ在做功，且W=F0x。一般情况下，F0≠

8、F

9、。如果运动路径是直线，那么α

10、和β始终是定值；如果运动路径是曲线，那么α和β将随着物体位置（也就是位置向量r=xi+yj）的变化而变化。此时如果合力F是位置向量r的向量函数，即F=Fr，那么此时功可以用向量的定积分来计算W=r1r2Fr⋅dr这个式子对曲线运动也成立。位移x就是末位矢（位置向量的简称）与初位矢之差：x=rn-r0。注