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1、第2课时 分段函数及映射目标要求热点提示1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．2．了解映射的概念.分段函数求值是本课时的一个重点考查内容，通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.列举初中已经学过的一些对应，或日常生活中的一些对应案例：(1)对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对和它对应；(3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；(4)某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的座位与它对应．你还能说出一些对应的
2、例子吗？1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的，其值域是各段值域的．2．设A、B是非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x，在集合B中都有的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．对应关系并集并集任意唯一确定3．映射是的推广，函数是一种特殊的映射，即函数是数集到数集的映射．函数2．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是()解析：
3、A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．答案：C3．函数y＝
4、x－1
5、，x∈[－1,4]，则此函数的值域为________．解析：函数y＝
6、x－1
7、，x∈[－1,4]上的图象如下图所示，故y∈[0,3]．答案：[0,3]4．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)
8、x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为________．解析：由题意知，与A中元素(－1,2
9、)对应的B中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．答案：(－3,1)思路分析：求分段函数的函数值时，应先判断自变量所在的范围，从而代入相应的解析式，对于多层求值，应由内向外求解．温馨提示：(1)分段函数题求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定相应的解析式．(2)分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集就是最终的解集．类型二 分段函数的图象与值域【例2】作出函数y＝2
10、x－1
11、－3
12、x
13、的图象，并求其值域．思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论
14、法去掉绝对值符号，再画出分段函数的图象，然后解之．温馨提示：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．思路分析：由题目可获取以下主要信息：①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应关系．解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应．温馨提示：要判断对应f：A→B是否是A到B的是映射，必须做到两点：①明确集合A、B中的元素；②根据映射定义判断A中每个元
15、素是否在B中能找到唯一确定的对应元素．类型四 分段函数在生活中的应用【例4】电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式，并画出其图象．思路分析：通话前3分钟的收费和以后每隔1分钟的收费都是不同值，并且不足1分钟以1分钟计费，因此，通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式用分段函数表示．(2)函数f(x)的图象如下图所示，(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上
16、的值域为[1,3)．1．分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．理解分段函数应注意以下几点：(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判
17、断图形是否为分段函数的图象的关键所在．2．映射首先，要准确理解映射的概念：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即：①A中元素不可剩，B中元素可剩；②多对一行，一对多不行；③映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射．其次，要准确把握映射与函数的关系：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B
