2020版高考数学第三章导数在研究函数中的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值、最值课件北师大版.pptx

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1、第2课时　利用导数研究函数的极值、最值考点一　利用导数解决函数的极值问题多维探究角度1根据函数图像判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时

2、，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.答案D规律方法由图像判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图像与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图像可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例1－2】(2019宜春模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表

3、.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值.当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，规律方法运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在

4、这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3已知函数的极(最)值求参数的取值【例1－3】已知函数f(x)＝lnx.(1)求f(x)图像的过点P(0，－1)的切线方程；把点P(0，－1)代入切线方程，得lnx0＝0，∴x0＝1.∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.规律方法已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是

5、此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x<－2或x>1时，f′(x)>0，当－2

6、018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.解①因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.②f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得

7、极小值.所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.考点二　利用导数求函数的最值【例2】(2019·陕西五校联考)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.解(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1.当00；当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.规律方法1.利

8、用导数求函数f(x)在[a，b]上的最