2020版高考数学复习导数在研究函数中的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值、最值讲义（含解析）

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1、第2课时　利用导数研究函数的极值、最值1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的

2、条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1.概念辨析(1)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　)(2)函数的极大值一定大于其极小值．(　　)(3)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则f(x)在区间D上不存在极值．(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)

3、答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.小题热身(1)设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A.x＝为f(x)的极大值点B.x＝为f(x)的极小值点C.x＝2为f(x)的极大值点D.x＝2为f(x)的极小值点答案　D解析　f(x)＝＋lnx，f′(x)＝－＋＝，当x>2时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当0

4、0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，∴最大值为8.(3)若f(x)＝ax3＋3x＋2无极值，则a的范围是________．答案　[0，＋∞)解析　f′(x)＝3ax2＋3，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值．当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝±.易知－和分别是f(x)的极小值点和极大值点．综上知a的范围是[0，＋∞).题型　用导数求解函数极值问题角度1　根据函数图象判断极值1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)A.1B

5、．2C．3D．4答案　B解析　极大值点处导数值为0，且两侧导数符号左正右负，观察导函数f′(x)在(a，b)上的图象可知，f(x)在(a，b)上的极大值点有2个.角度2　求函数的极值2.(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)A.－1B．－2e－3C.5e－3D．1答案　A解析　函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a

6、－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－21时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.角度3　根据极值求参数3.(2018·北京高考)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解　(1)

7、因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[2ax－(4a＋1)]ex＋[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex，f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0，所以a的值为1.(2)解法一：由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，