2020版高考数学第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值、最值教案

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1、第2课时　利用导数研究函数的极值、最值考点一　利用导数解决函数的极值问题　多维探究角度1　根据函数图像判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2

2、f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.答案　D规律方法　由图像判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图像与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图像可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2　已知函数求极值【例1－2】(2019·宜春模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个

3、数.解　(1)当a＝时，f(x)＝lnx－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0).当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′

4、(x)<0，故函数在x＝处有极大值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.规律方法　运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3　已知函数的极(最)值求参数的取值【例1－3】已知函数f(x)＝lnx.(1)

5、求f(x)图像的过点P(0，－1)的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.设切点坐标为(x0，lnx0)，则切线方程为y＝x＋lnx0－1.把点P(0，－1)代入切线方程，得lnx0＝0，∴x0＝1.∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.(2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝lnx－mx＋(x>0)，所以g′(x)＝－m－＝＝－，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等

6、的正数根x1，x2.故只需满足即可，解得0

7、0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x<－2或x>1时，f′(x)>0，当－2

8、′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0