高考数学导数及其应用（选修1_1）第11节导数在研究函数中的应用（第2课时）导数与函数的极值、最值习题

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1、第二课时　导数与函数的极值、最值【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数的极值2,3,5,6,9,11利用导数研究函数的最值1,4,7,8利用导数研究函数的极值与最值综合问题13,14利用导数研究优化问题10,12基础巩固(时间:30分钟)1.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为(　B　)(A)1-e(B)-1(C)-e(D)0解析:因为f′(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,e]时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值

2、ln1-1=-1.2.(2018·豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为(　C　)(A)4(B)2或6(C)2(D)6解析:因为f(x)=x(x-c)2,所以f′(x)=3x2-4cx+c2,又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,所以f′(2)=12-8c+c2=0,解得c=2或6,c=2时,f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值;c=6时,f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值;所以c=2.3.函数f(x)=3x2+lnx-2x的极值点的个数是(　A　)(A)0(B)1(C)2(D

3、)无数解析:函数定义域为(0,+∞),且f′(x)=6x+-2=,不妨设g(x)=6x2-2x+1.由于x>0,令g(x)=6x2-2x+1=0,则Δ=-20<0,所以g(x)>0恒成立,故f′(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.4.(2018·银川模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(　D　)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f′(x)=-a=0,得x=,当0

4、<时,f′(x)>0;当x>时,f′(x)<0.所以f(x)max=f()=-lna-1=-1,解得a=1.5.(2017·赤峰二模)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　D　)(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2

5、2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.6.设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x1<20时,f(x)=-1,f′(x)=,所以当x∈(0,

6、1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.所以x=1时,f(x)取到极小值e-1,即f(x)的最小值为e-1.又f(x)为奇函数,且x<0时,f(x)=h(x),所以h(x)的最大值为-(e-1)=1-e.答案:1-e8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是　　　　. 解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-,所以由f′(x)=0解得x=,由题意得解得1≤k<.答案:[1,)能力提升(时

7、间:15分钟)9.(2018·郑州质检)若函数y=f(x)存在(n-1)(n∈N*)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为(　C　)(A)2折函数(B)3折函数(C)4折函数(D)5折函数解析:f′(x)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)(ex-3x-2),令f′(x)=0,得x=-2或ex=3x+2.易知x=-2是f(x)的一个极值点,又ex=3x+2,结合函数图象,y=ex与y=3x+2有两个交点.又e-2≠3×(-2)+2=-4.所以

8、函数y=f(x)有3个极值点,则f(x)为4折函数.10.(2018·华大新高考联盟教学质量测评)传说中孙悟空的“如意金箍