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1、第39卷第23期数学的实践与认识Vol139No1232009年12月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYDecem.,2009加权马尔可夫链在传染病发病情况预测分析中的应用121311彭志行, 鲍昌俊, 赵 杨, 夏乐天, 于 浩, 陈 峰(1.南京医科大学流行病与卫生统计系,江苏南京 210029)(2.江苏省疾病预防控制中心,江苏南京 210009)(3.河海大学应用数学系,江苏南京 210098)摘要:首先基于传染病的发病情况存在大量不确定性的特点,应用有序聚类的方法建立发病人数
2、状态的分级标准;然后针对发病人数序列为相依随机变量的特点,采取以规范化的各阶自相关系数为权重,用加权的马尔可夫链模型来预测和分析发病人数的变化状况,使预测结论的长期效果趋于最优;最后通过实例检验,对预测结果和方法进行评价和深入的分析.关键词:加权马尔可夫链;有序聚类;传染病;预测1 引 言在医学卫生领域中,每一种疾病不论发生、发展及转归,均会受到许多外在因素和人体内部因素的影响,而且这些影响因素之间又存在着错综复杂的联系,很难运用结构式的因果模型加以解释;而数据之间的这种相互依存关系恰恰是研究对象最重要和最有
3、用的特性,这[123]时根据其自身的变动规律建立时间序列的动态模型则是一种行之有效的方法.近年来,许多学者将马尔可夫链理论应用于传染病发病情况的预测并建立了一些数学模型,用马尔可夫链的方法来对各类传染病的发病情况进行综合分析与研究,这些定量分析方法因其对历史数据依赖较少、准确性较高、对各种分布均具有适应性而受到了广泛欢迎.然而,运用传统的马尔可夫链方法对传染病发病的情况进行预测分析也有其难以回避的不足和缺陷,比如我们无法证明此马尔可夫链满足齐次性、转移概率矩阵的调整难度极大、其[4]预测的准确性受客观因素的影响
4、太大等等.本文试图在克服这些困难方面做一些尝试,运用加权马尔可夫链理论建立预测传染病发病情况的数学模型,既吸收了传统的马尔可夫链方法的优点,又借助了相关分析方法的长处并充分发挥了历史数据的作用,以期能对传染病发生过程中通常具有的长期趋势、季节性、周期性、短期波动和不规则变动等特点进行更加[5]深入的分析.2 一维有序样本的聚类—最优分割法对一维有序样本进行分类,实际上就是要将这些样品组成的有序序列进行分段,也就是要找出一些分点,将它们分成几个分段,每个分段为一类,这种分类称为分割.费歇(Fisher)曾给出了一
5、个求最优分类的算法,即最优分割法,其基本思想是基于方差分析的思想:寻找一个分割使各段内部样本间的差异最小,而各段之间样本的差异最大.这个分割就是最优分收稿日期:2007203221基金项目:国家科技重大专项课题(2009ZX100042904);江苏省高校自然科学基金课题(09KJB330004)23期彭志行,等:加权马尔可夫链在传染病发病情况预测分析中的应用93割.本文提出应用有序聚类的方法来划分发病人数的变化区间,可以更加充分地考虑发病人数随时间变化的数据结构,使划分的区间更加合理设变量x1,x2,⋯,xn
6、的某一类是{x1,x+i1,⋯xj},j>i,定义其均值向量为j1xij=∑xl(1)j-i+1l=i将该类内部各样本间的总差异(其指标是离差平方和)定义为该类的直径,用D(i,j)表示:jD(i,j)=∑(xl-xij)(xl-xij)(2)l=i设将n个有序变量分为类,某一分割为p(n,k):{i1,i1+1,⋯,i2-1},{i2,i2+1,⋯,i3-1},⋯,{ik,ik+1,⋯,n}定义这种分类的误差函数即目标函数为类内总离差平方和:kL[p(n,k)]=∑D(ij,ij+1-1)(3)j=1当n,k
7、固定时,误差函数L[p(n,k)]越小表示各类的类内离差平方和越小,分类是合[6]理的.可以证明,所谓的最优分割就是使L[p(n,k)]达到最小值时的一种分类法.分类数[7]k可以通过做L[p(n,k)]与k的关系曲线图求得,曲线拐弯处的k值即为最优分割数.3加权马尔可夫链预测的理论3.1马尔可夫链马尔可夫过程是随机过程的一个分支,它最基本最重要的特征是:“无后效性”(也称“马氏性”),即在已知随机过程“现在”状态的条件下,其“将来”的状态与“过去”的状态无关.状[8]态和时间均离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链
8、,其数学表述见参考文献.马尔可夫链的性质和有关结论很多,在此不一一列述.在实际应用中,常假定马尔可夫链是齐次的,即(n)(1)nP=P,从而运用齐次马尔可夫链的相关结论对实际生产生活进行预测和分析.齐次马尔可夫链完全由其初始分布{p0(i0),i0∈E}及其一步状态转移概率矩阵P=(pij)i,j∈E[9]所决定.3.2加权马尔可夫链预测的思想和步骤传染病在各个不同时间段的发病情况都符
