微积分2-6综合例题(不全)

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1、《微积分A》习题解答习题2.6(133)1.选择题23(1)函数f(x)=(x−x−)2x−x有（）个不可导点.A.3B.2C.0D.1解：f(x)=(x−)2x⋅x−1⋅[(x+)1x+]1，即f(x)有三个分段点由结论：y=x在x=0处不可导，而y=xx在x=0处可导，可知f(x)在分段点x=−1处可导，而在分段点x=0、x=1处不可导.故选B.22(n)(2)设f(x)=3x+xx，则使f)0(存在的最高阶数（）A.0B.1C.2D.3⎧x3x≥02解：只讨论g(x)=xx=⎨即可.因为g(x)在点

2、x=0处连续，故3⎩−xx<022g−′)0(=limg′(x)=lim−3x=0，g′+)0(=limg′(x)=lim3x=0−−++x→0x→0x→0x→0⎧3x2x≥0即g′)0(=0所以g′(x)=⎨2⎩−3xx<0又因为g′(x)在点x=0处连续，故g−′′)0(=limg′′(x)=lim−6x=0，g+′′)0(=limg′′(x)=lim6x=0−−++x→0x→0x→0x→0⎧6xx≥0即g′′)0(=0所以g′′(x)=⎨⎩−6xx<0又因为g′′(x)在点x=0处连续，故g−′′′

3、)0(=limg′′′(x)=lim−6=−6，g+′′′)0(=limg′′′(x)=lim6=6−−++x→0x→0x→0x→0g′′′)0(≠g′′′)0(，所以g(x)点x=0处的三阶导数不存在.故选C.−+(3)若f(x)=−f(−x)，在,0(+∞)内，f′(x)>0，f′′(x)>0，则f(x)在(−∞)0,内（）A.f′(x)<0，f′′(x)<0B.f′(x)<0，f′′(x)>0C.f′(x)>0，f′′(x)<0D.f′(x)>0，f′′(x)>0第2章导数与微分第6节综合例题1/9

4、《微积分A》习题解答解：两端同时对x求两次导：f′(x)=−f′(−x)⋅(−)1=f′(−x)，f′′(x)=−f′′(−x)所以f′(−x)=f′(x)>0，f′′(−x)=−f′′(x)<0，故选C.y(4)设f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图2-15所示，则f′(x)的图形（见图2-16）为（）ox图2—15yyoxoxa)b)yyoxoxc)d)图2—16解：由图2-15可知当x<0时，f(x)单调递增，故f′(x)>0，当x>0时，f(x)先单调递增又单调递减再单调递增，故f′(x

5、)先>0又<0再>0，故选D.注：此题应置于第3章综合练习的习题后。2.设函数f(x)=ϕ(a+bx)−ϕ(a−bx),其中b≠0，ϕ(x)在(−∞,+∞)上有定义，且在点a处可导，求f′)0(.f(x)−f)0([ϕ(a+bx)−ϕ(a)]−[ϕ(a−bx)−φ(a)]解：f′)0(=lim=limx→0x−0x→0x第2章导数与微分第6节综合例题2/9《微积分A》习题解答ϕ(a+bx)−ϕ(a)ϕ(a−bx)−ϕ(a)=lim−limx→0xx→0x令s=a+bxϕ(s)−ϕ(a)ϕ(t)−ϕ(a)b

6、lim−(−b)limt=a−bxs→as−at→at−a=bϕ′(a)+bϕ′(a)=2bϕ′(a)注：因题中未给ϕ(x)可导（只给出在点a处可导），故不能如下直接求导：f′(x)=bϕ′(a+bx)−(−b)ϕ′(a−bx)必须用定义求！！！另外：符号ϕ′′()abx+,(ϕabx−)不能简写为：ϕ′（ϕ′表示ϕ′(x)）⎧1⎪ln(1+2x)−1分析：题中表面上只给出了一个条件，但实际上条件“f(x)在点x=

7、1处可导”隐含了“f(x)在点x=1处连续”，因而利用这两个条件可以确定题中的两个未知数.解：函数f(x)在点x=1处可导，则必有函数f(x)在点x=1处连续，且f′)1(=f′)1(−+由函数f(x)在点x=1处连续，得limf(x)=lim(ax+b)=f)1(，++x→1x→1即a+b=ln3(*)f(x)−f)1(ln(1+2x)−ln3f′)1(=lim=lim−−−x→1x−1x→1x−122ln[1+(x−1)](x−)1ln[3+(2x−1)]−ln3332=lim=lim=lim=−−−

8、x→1x−1x→1x−1x→1x−13f(x)−f)1(ax+b−ln3f′)1(=lim=lim+++x→1x−1x→1x−1a(x−)1+a+b−ln3=lim=a+x→1x−122从而得a=，代入(*)式得b=ln3−33第2章导数与微分第6节综合例题3/9《微积分A》习题解答⎧exx<05.设函数f(x)=⎨，试确定a，b，的值，使得cf′′)0(存在.2⎩ax+bx+cx≥0解：要使得f′′)0(存在，则点x=0处必