微积分习题1.7综合例题

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1、《微积分A》习题解答习题1.7(P77)1.求下列各极限.⎛1⎞(1).lim⎜1−⎟cosnn→∞⎜n⎟⎝2⎠⎛⎞⎛n⎞解：lim⎜1−1⎟cosn=lim⎜2−1⎟cosnn→∞⎜n⎟n→∞⎜n⎟⎝2⎠⎝2⎠⎛n⎞⎜2−1⎟0因为lim==0，cosn≤1，n→∞⎜n⎟1⎝2⎠⎛1⎞故lim⎜1−⎟cosn=0n→∞⎜n⎟⎝2⎠30202(x−)1⋅3(x−)2(2).limx→∞2(x+)1501302202(x−)130⋅3(x−)220分子分母2(−)⋅3(−)xx解：limlimx→∞2(x+)150

2、同除x50x→∞1502(+)x3020202⋅3⎛3⎞==⎜⎟5022⎝⎠⎛1222n2⎞(3)．lim⎜++L+⎟n→∞⎜n3n3n3⎟⎝⎠⎛1222n2⎞n(n+1)(2n+)11解：lim⎜++L+⎟=lim=n→∞⎜n3n3n3⎟n→∞6n33⎝⎠1−cosx(4)．limx→0(ex−)1ln(1+x)21−cosxx21解：lim=lim=x→0(ex−)1ln(1+x)x→0x⋅x2cotx(5)．lim1(+sinx)x→0cosx⎡1⎤解：lim1(+sinx)cotx=lim⎢1(+sinx

3、)sinx⎥=e1=ex→0x→0⎢⎣⎥⎦第1章极限与连续第7节综合例题1/12《微积分A》习题解答1−x⎛1+x⎞1−x(6)．lim⎜⎟x→1⎝2+x⎠1−x11⎛1+x⎞1−x⎛1+x⎞1+x⎛2⎞2解：lim⎜⎟=lim⎜⎟=⎜⎟x→1⎝2+x⎠x→1⎝2+x⎠⎝3⎠n⎛nn⎞⎜a+b⎟(7)．lim(a>,0b>)0n→∞⎜2⎟⎝⎠⎛xx⎞⎜a−1+b−1⎟nnnxxxlimxln⎜1+⎟⎛a+b⎞⎛a+b⎞x→+∞⎜2⎟lim⎜⎟=lim⎜⎟=e⎝⎠解：n→∞⎜2⎟x→+∞⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎛xx⎞⎜a−

4、1+b−1⎟xxlimxln⎜1+⎟a−1+b−1x→+∞⎜2⎟无穷小limx()=e⎝⎠ex→+∞2替换1⎡xx⎤⎢limx(a−)1+limx(b−)1⎥=e2⎢⎣x→+∞x→+∞⎥⎦1⎡limx(1lna)+limx(1ln)⎤1⎢b⎥[]lna+lnb=e2⎣x→+∞xx→+∞x⎦=e2=abx⎛1⎞⎜1x⎟（8）．lim+2x→∞⎜x⎟⎝⎠⎛1⎞⎜1⎟1xlimxln⎜1+(+2x−)1⎟1⎛11⎞x→∞⎜⎜x⎟⎟limx(+2x−)1lim⎜+2x⎟=e⎝⎠=ex→∞x解：⎜⎟x→∞x⎝⎠1111+l

5、imx2(x−)1无穷小1+limx2(x−)11+limx(ln)2=ex→∞ex→∞=ex→∞x=e1+ln2=2e替换1+xsinx−1(9).limx→0x2e−1第1章极限与连续第7节综合例题2/12《微积分A》习题解答1+xsinx−1xsinx2x⋅x21解：lim=lim=lim=x→0x2x→0x2x→0x22e−11(10).lim1[+ln(1+x)]xx→01111limln[1+ln(1+x)]limln(1+x)lim⋅xlim1[+ln(1+)]x=x→0x=x→0x=x→0x=解：

6、xeeeex→024x+x−1+x−1(11)．limx→−∞x2+sinx1114+−−1+4x2+x−1+x−1分子分母xx2x解：limlim=1x→−∞x2+sinx同除−xx→−∞sinx1+2x12ln(1+x)(12)．lim(cosx)x→01ln[1+(cosx−1)](cosx−)12lim2lim2lim(cosx)ln(1+x)=ex→0ln(1+x)=ex→0x解：x→02−x21lim2−=ex→0x=e22(13)．lim1(+3x)sinxx→022ln(1+3x)2⋅3(x)li

7、mlim解：lim1(+3x)sinx=ex→0sinx=ex→0sinx=e6x→03−x−1+x(14)．limx→1x2+x−23−x−1+x分子有1(2−x)解：limlimx→1x2+x−2理化x→1(x+2)(x−1)(3−x+1+x)−22=lim=−x→1(x+2)(3−x+1+x)6第1章极限与连续第7节综合例题3/12《微积分A》习题解答1limex+11(+exsin2x)1+x2−1(15)．x→011limex+11(+exsin2x)1+x2−1=limex+1lim1(+exsin2

8、x)1+x2−1解：x→0x→0x→0x2x2x2ln(1+esinx)esinxe⋅xlim2lim2lim2=e⋅ex→01+x−1=e⋅ex→0x2=e⋅ex→0x2=e⋅e2=e3xnln(e+x)2.设f(x)=lim，求f(x)的定义域.n→∞nxn解：因为当x≤−1时，e+x<0；f(x)无意义；xnnln(e+x)当x<1时，limx=0，故lim=0；n