陶桂平 微积分 分部积分习题解答和例题

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1、分部积分法与有理函数积分习题解答与补充例题一、总结：分部积分法的积分流程为使用分部积分法的关键是将恰当地凑成的形式，其遵循的一般原则是：（1）中容易凑微分的那部分挖出与凑成；（2）要容易积分；常见有三种类型：类型与的选取1，，注：可推广到多项式选为，将，，凑成2，（），，，选，反三角函数为，将凑成，3，循环积分法：与（或）任选一个为，余下的凑，用两次分部积分，（两次的选取应一致，即两次均选为，或两次均选（或）为），得到所求积分的方程，解方程即得。注：（1）一般地，若幂函数碰到不易凑微分的函数如对数函数和反三角函数时，幂函数凑，幂函数碰到易凑微分的

2、函数如三角函数，指数函数时，幂函数为，其它函数凑。（2）当被积函数中含有根式或复杂形式时，可以先借助换元法化简积分，再考虑用分部积分。（3）多次运用分部积分公式时，有时会出现待求的不定积分，即出现了循环，得到一个方程式，求解方程得，制造这种循环也是求不定积分的一种方法。二、课后习题点评（P172第四题）4、（1）与（2）为分部积分的第二种类型，直接分部积分。（3）与（4）为分部积分的第一种类型，多项式为，其它凑。（5）与（6）类似，幂函数碰到易凑微分的三角函数，幂函数为。（7）注：直接凑不易观察时，可以分步凑微分，(8)利用三角函数的降幂公式化为

3、分部积分的第一类型（9）属于分部积分的第一类型（10）化为分部积分的第一类型（11）化为分部积分的第一类型（12）化为分部积分的第三类型，用循环积分法。（13）分部积分的第二类型，直接分部积分（14），化为分部积分的第二类型（15）建立所求积分的方程，解方程。，所以。（16）化为分部积分的第二类型（17）分部积分的第二类型（18）（19），化简被积函数，借助分母有理化，再积分（20），（直接观察出原函数），或或注：第二种方法是将积分化为两部分，其中一部分用分部积分公式，得到的积分恰好与第二部分抵消（两个相同的积分抵消后结果是一个任意的常数）。（2

4、1）与（22）为分部积分的第二类型（23）直接分部积分（24）为分部积分的第二类型，，再用分部积分（25）直接用分部积分，注意（26）注意（27）先通过换元化简积分，化为分部积分的第二类型（28）或（29），再用分部积分即可，为第一类型的分部积分（30），转化为分部积分的第三类型，用循环积分法所以，再代入即得原积分。补充练习：（1）；（2）；（3）；（4）解答（1）或（2）或者（3）（4）二、有理函数积分课后习题点评（P172第五题）5（6）（7）（8）或注：对于次数较高的有理真分式函数的积分，一般不是直接分解为部分分式，而是尽可能先将被积函数拆

5、项分解，再采用凑微分法或变量替换法。