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1、微积分进阶习题解答(注:讲义中的习题可能有错误,请注意核对.)习题2.1.1.试用"
2、±语句写出你认为常用的函数极限定义的其他等价形式.解.例如:limf(x)=A的定义可写作x!x08"2(0;1),存在±2(0;2),使得当00是一个绝对常数.2.试写出数列极限Cauchy准则的否定语句.解.liman6=An!+1的"¡N语言可以写作:9">0,使得8N>0,9m;n>N,满足jam¡anj¸":3.试写出f(x)在区间(a;b)上不一致连续的"
3、
4、±语言.解.f(x)在区间(a;b)上不一致连续的"
5、±语言可以写为9">0,使得8±>0,存在x;y2(a;b),满足jx¡yj<±,以及jf(x)¡f(y)j¸":4.利用有限覆盖定理证明:有界闭区间[a;b]上的连续函数一定在[a;b]上一致连续.证明.由f(x)的连续性,可得8">0,存在(与x有关的)±x>0,使得当jy¡xj<±x时,(且y2[a;b]时)成立jf(y)¡f(x)j<":我们有[¡±x±x¢x¡;x+¶[a;b]:22x2[a;b]于是,由有限覆盖定理,存在x1;x2;:::;x
6、m2[a;b]使得[¡±xk±xk¢xk¡;xk+¶[a;b]:(2.1.1)221·k·m记±xk±=min:1·k·m2习题2.1.3则±>0.设x;~x^2[a;b]且满足jx~¡x^j<±.则由(2:1:1),有1·j·m使得±xjjx~¡xjj<:2此时jx^¡xjj·jx^¡x~j+jx~¡xjj<±xj:从而jf(^x)¡f(~x)j·jf(^x)¡f(xj)j+jf(xj)¡f(~x)j<2":这就得到了f(x)在[a;b]上的一致连续性.2思考:为什么要利用[¡±x±x¢x¡;x+¶[a;
7、b]22x2[a;b]而不是[¡¢x¡±x;x+±x¶[a;b]?x2[a;b]注.以下是利用致密性定理证明上述结论.反设f(x)在[a;b]上非一致连续.则存在">0,使得对任何±>0,都存在x±;1;x±;22[a;b]满足jx±;1¡x±;2j<±,而¯¯¡¢¡¢¯¯¯fx±;1¡fx±;2¯¸":1特别,对于每个n¸1,存在xn;yn2[a;b],满足jxn¡ynj<,以及(即n1取±=)n¯¯¯¯¯f(xn)¡f(yn)¯¸":(2.1.2)由于xn有界,由致密性定理,存在xn的子列xnk收敛,设
8、极限为x¹.则x¹2[a;b].进一步,有¡¢limynk=limxnk+limynk¡xnk=¹x:k!+1k!+1k!+1最后,在(2:1:2)中去n=nk并令k!+1,则由f(x)的连续性得到0¸".我们得到矛盾.因此,f(x)在[a;b]上一致连续.微积分进阶习题解答(注:讲义中的习题可能有错误,请注意核对.)习题2.2.1.写出其他类型极限的夹逼准则.解.例如：函数极限的夹逼准则:S设9±>0，使得8x2(a¡±;a)(a;a+±),有g(x)·f(x)·h(x)且limg(x)=limh(x)=
9、A;A有限或§1;x!ax!a则limf(x)=A:x!a2.推广例题2.1.解.一般地,设f(x)lim=B;x!0x特别,f0(0)=1.若a满足nkXn(i)jankj有界.k=1(ii)limmaxjakj=0.n!11·k·nXn(iii)limank=A.n!1k=1则Xn¡¢limfank=AB:n!1k=1其证明完全类似于例题.3.在例题2.3中,如果去除K2(0;1)的限制,情况又将如何?解.当K¸1时,fn(x)不一定收敛.例如取f(x)=x+1,则jf(x)¡f(y)j·jx¡yj;8
10、x;y2IR:但对任何x2IR,fn(x)不收敛.4.例题2.7可以作怎样的推广,使得我们除了可以得到极限的存在性外,还可以将极限计算出来?习题2.2.3解.设srqptn=an+an¡1+an¡2+¢¢¢+a1其中非负数列an满足liman=A;n!+1则tn收敛.且我们可以将极限计算出来.如果an均为0,则tn´0.从而limtn=0:n!+1如果an不全为零,设k使得ak>0.则当n¸k时,¡¢1tn¸ak2n¡k+1;8n¸k:从而limtn¸1:n!+1另一方面,由liman=A;n!+1可知an
11、有界.设an·M;8n¸1;其中M¸2.则不难证明此时有tn·M;8n¸1:即tn有界.记L;`为tn的上极限和下极限,则由t2=a+tn+1n+1n可得L2=A+L;以及`2=A+`:由于1·`·L·M,可解得p1+1+4AL=`=:2这就证明了p1+1+4Alimtn=:n!+124第2章极限与连续5.试对srqrrrpa+a+a+¢¢¢+ra123n进行类似例题2.8的讨论.解.设r>1.可证对正数列ans
