微积分10无穷级数联系和习题解答

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1、第10章无穷级数练习和习题解答练习10.11.写出下列级数的一般项：(1)；解：该级数一般项为(2)；解：该级数一般项为(3)；解：该级数一般项为(4).解：该级数一般项为2.用定义判断下列级数的收敛性：(1)解：，显然不存在，故原级数发散.(2)解：，故原级数发散.(3)34解：，故原级数收敛.(4)解：，所以当时原级数收敛，当或时原级数发散.(5)解：，，故原级数收敛.练习10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性：(1)；解：因为通项，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(2)；解：因为不存在，

2、不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.34(3);解：因为，故原级数发散.(4);解：因为，故原级数发散.(5);解：因为，而级数和均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛.(6);解：因为级数收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛.(7)解：因为级数为发散调和级数，而级数为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散.2.若级数收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的.(1);解：因为级数收敛，所以级数和也收敛，因此原级数也收敛.(2)(为某一确定的自然数)34解：因为级数收敛，而级数

3、相当于级数去除前项后的新级数也收敛.(3)解：因为级数收敛，所以，故，即级数发散.练习10.31.用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1)；解：因为通项，而级数为收敛的几何级数，根据比较判别法，级数收敛.(2)；解：因为通项，而级数为收敛的-级数，根据比较判别法，级数收敛.(3)；解：因为通项，而级数相当于发散调和级数，根据比较判别法，级数发散.(4)；34解：因为通项，又调和级数发散，因此级数也发散，根据比较判别法，原级数也发散.(5)；解：令，，显然参照级数为收敛的-级数，而，根据比较判别法的极限形式，可知原级数也收敛.(

4、6)；解：令，，显然参照级数为收敛的-级数，而，根据比较判别法的极限形式，可知原级数也收敛.(7)；解：令，，显然参照级数为收敛的-级数，而，根据比较判别法的极限形式，可知原级数也收敛.34(8).解：因为通项，参照级数为收敛的-级数，根据比较判别法，原级数也收敛.2.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：(1)；解：因为，根据比值判别法，原级数收敛.(2)；解：因为，根据根值判别法，原级数发散.(3)；解：因为，根据根值判别法，原级数收敛.(4)；解：因为，根据根值判别法，原级数收敛.34(5)；解：因为，根据根值判

5、别法，原级数收敛.(6).解：因为，根据根值判别法，原级数收敛.3.判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)；解：该级数为交错级数，令，由于，且，根据交错级数收敛判别法，该级数收敛.又由于是发散的调和级数，因此原级数条件收敛.(2)；解：由于，不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散.(3)；34解：该级数为交错级数，其对应的正项级数收敛，因此该级数绝对收敛.(4)；解：令，由于，而级数是收敛的-级数，根据比较判别法级数收敛，因此原级数绝对收敛.(5).解：该级数为交错级数，令，根据-级数的收敛性质，我

6、们知道，时，收敛，因此原级数绝对收敛；时，发散，，且，根据莱布尼茨判别法，原级数收敛，且为条件收敛；时，单调递增，，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散.练习10.41.求下列幂级数的收敛域：(1)解：令，，收敛半径，收敛区间为，当时，级数发散，当时，级数收敛，所以原级数的收敛域为.34(2)解：令，，所以收敛半径为，原级数的收敛域为.(3)解：令，，所以收敛半径为，原级数只在处收敛.(4)解：令，，原关于的幂级数化为关于的幂级数，，收敛半径，的收敛半径为，当时，级数发散，因此，原幂级数的收敛域为.(5)解：设，，原关于的幂级

7、数转化为关于的幂级数.34,幂级数的收敛半径为，收敛区间为因此幂级数的收敛半径也为，收敛区间为，当时，级数收敛，当时，级数发散，因此，幂级数的收敛域为.2.利用例10-33的结果，求级数的和.解：根据例10-33，.3.求幂级数的和函数，并求级数的和.解：设，两边同时对求导，得，两边同时在上积分，得，由，得，，即，34.练习10.51.写出下列函数的阶麦克劳林公式：(1)解：，，，，，，，，在0到之间，(2)解：时，，，，，其中，.2.将下列函数展开成的幂级数，并求收敛域：(1)；解：由于,34所以,,(2)；解:由于,,(3

8、).解:根据,,可知，两边在上积分，34由于，所以，3.将函数展开成的幂级数.解：对求导，得由于，所以，上式两边在区间上积分，得，由于，因此，.4.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：(1)（精确到0.001）解：根据，，在到之间时，只要，即只要当时，，所以只要去展开式