无穷级数习题解答

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1、无穷级数一、判断下列级数的敛散性，若收敛，求出其和1、解：因为所以故2、解：因为，所以发散。3、解：因为，所以发散。4、解：注：常用极限及公式：，一、用比较判别法判断下列正项级数的敛散性1、解：因为而级数收敛，故收敛。2、解：因为而级数收敛，故收敛。3、解：因为而级数收敛，故收敛。4、解：因为而级数收敛，故收敛。5、，其中、为关于的最高阶系数为正的多项式，且阶分别为和。解：令则，且，（1），，此时级数发散；（2），，此时级数发散；（3）由知对当时，成立故当时成立当时，由右端不等式可知级数收敛，当时，由左端不等式可知级数发散。综上：时，级数收敛

2、，时，级数发散。简化解法：令则，且由知对当时，成立故当时，成立据此不等式，由正项级数的比较定理得与同敛散。故时，级数收敛，时，级数发散。注：利用下面习题三的结论：直接由可知，与同敛散。6、解：由不等式可知左端不等式说明该级数是正项级数，因收敛，所以右端不等式说明该级数收敛。注：1.放缩不等式常用技巧：：放大分子缩小分母；：缩小分子放大分母（放到最大，缩到最小）例：；。2.常用不等式：3.常用比较级数：几何级数和级数。一、若有，则与的敛散性有何关系？解：由可知，对当时，成立，即，故由该不等式和正项级数的比较判别法可知，与同敛散。注：该结论称为正

3、项级数比较判别法的极限形式。二、证明：若正项级数发散，则发散，但收敛。证明：反证：假定收敛，令，则从而，故由上题结论可知收敛，矛盾。又，而级数收敛，故收敛。补充：Cauchy准则级数收敛的充要条件是：否定形式级数发散的充要条件是：及某自然数，使得一、设正项级数发散，而，试证明：（1）发散；（2）收敛证明：（1）因，所以因为，故当充分大时，有，从而所以发散。注:对的发散性可利用不等式：级数发散因其部分和序列：发散。（2）由题意知单调递增，且又，而级数收敛。故收敛。二、用比值判别法分析下列正项级数的敛散性1.解：，故级数收敛。2.解：，故级数收敛

4、。3.解：，故级数收敛。4.解：由于，而级数满足，因此它收敛，故原级数收敛。一、正项级数根式判别法（Cauchy判别法）及其应用定理：对于正项级数，若，则时，级数收敛；时级数发散；时，此法失效。例：1.解：，故级数收敛。2.解：，故级数收敛。一、判断下列交错级数的敛散性1.解：，而为单增函数,故，又。所以级数收敛。2.解：，而当时为单减函数,故，又。所以级数收敛。当时为单减函数证明如下：，，为单增函数，故因此，当时，。二、判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛1.解：，而发散,故发散。又，以及。所以级数条件收敛。2.解：，而收敛,故级数绝

5、对收敛。3.解：，，故级数绝对收敛。4.解：，.故由发散，知发散。而当时，为单减函数,故，又。所以级数条件收敛。只需证明：当时，单增，故。一、设收敛，证明：绝对收敛。证明：由不等式及和的收敛性可知结论成立。类似的题目：设收敛，且，则当时收敛。十一、证明：。证明：考虑级数，因，故级数收敛，所以由级数收敛的必要条件得。注：该题说明可利用级数收敛的必要条件证明某些极限为零的极限。类似的例子有：