无穷级数习题解答

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1、无穷级数一、判断下列级数的敛散性,若收敛,求出其和1、解:因为所以故2、解:因为,所以发散。3、解:因为,所以发散。4、解:注:常用极限及公式:,一、用比较判别法判断下列正项级数的敛散性1、解:因为而级数收敛,故收敛。2、解:因为而级数收敛,故收敛。3、解:因为而级数收敛,故收敛。4、解:因为而级数收敛,故收敛。5、,其中、为关于的最高阶系数为正的多项式,且阶分别为和。解:令则,且,(1),,此时级数发散;(2),,此时级数发散;(3)由知对当时,成立故当时成立当时,由右端不等式可知级数收敛,当时,由左端不等式可知级数发散。

2、综上:时,级数收敛,时,级数发散。简化解法:令则,且由知对当时,成立故当时,成立据此不等式,由正项级数的比较定理得与同敛散。故时,级数收敛,时,级数发散。注:利用下面习题三的结论:直接由可知,与同敛散。6、解:由不等式可知左端不等式说明该级数是正项级数,因收敛,所以右端不等式说明该级数收敛。注:1.放缩不等式常用技巧::放大分子缩小分母;:缩小分子放大分母(放到最大,缩到最小)例:;。2.常用不等式:3.常用比较级数:几何级数和级数。一、若有,则与的敛散性有何关系?解:由可知,对当时,成立,即,故由该不等式和正项级数的比较判

3、别法可知,与同敛散。注:该结论称为正项级数比较判别法的极限形式。二、证明:若正项级数发散,则发散,但收敛。证明:反证:假定收敛,令,则从而,故由上题结论可知收敛,矛盾。又,而级数收敛,故收敛。补充:Cauchy准则级数收敛的充要条件是:否定形式级数发散的充要条件是:及某自然数,使得一、设正项级数发散,而,试证明:(1)发散;(2)收敛证明:(1)因,所以因为,故当充分大时,有,从而所以发散。注:对的发散性可利用不等式:级数发散因其部分和序列:发散。(2)由题意知单调递增,且又,而级数收敛。故收敛。二、用比值判别法分析下列正项

4、级数的敛散性1.解:,故级数收敛。2.解:,故级数收敛。3.解:,故级数收敛。4.解:由于,而级数满足,因此它收敛,故原级数收敛。一、正项级数根式判别法(Cauchy判别法)及其应用定理:对于正项级数,若,则时,级数收敛;时级数发散;时,此法失效。例:1.解:,故级数收敛。2.解:,故级数收敛。一、判断下列交错级数的敛散性1.解:,而为单增函数,故,又。所以级数收敛。2.解:,而当时为单减函数,故,又。所以级数收敛。当时为单减函数证明如下:,,为单增函数,故因此,当时,。二、判定下列级数哪些是绝对收敛,哪些是条件收敛1.解:

5、,而发散,故发散。又,以及。所以级数条件收敛。2.解:,而收敛,故级数绝对收敛。3.解:,,故级数绝对收敛。4.解:,.故由发散,知发散。而当时,为单减函数,故,又。所以级数条件收敛。只需证明:当时,单增,故。一、设收敛,证明:绝对收敛。证明:由不等式及和的收敛性可知结论成立。类似的题目:设收敛,且,则当时收敛。十一、证明:。证明:考虑级数,因,故级数收敛,所以由级数收敛的必要条件得。注:该题说明可利用级数收敛的必要条件证明某些极限为零的极限。类似的例子有:

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