无穷级数习题及解答.doc

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1、无穷级数例题选解1．判别下列级数的敛散性：2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？（1）；（2）；（3）。3．求幂级数的收敛区间。4．证明级数当时绝对收敛，当时发散。5．在区间内求幂级数的和函数6．求级数的和。7．把展开成的幂级数，并求级数的和8．设（）证明1）存在；2）级数收敛。9．设，1）求的值；2）试证：对任意的常数，级数收敛。10．设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？并说明理由。11．已知，计算。12．计算。参考答案：1．解：（1），而收敛，由比较审敛法知收敛。（2），而发散，由比较审敛法的极限形式知发散。（3），，

2、由比值审敛法知收敛。（4），，由根值审敛法知收敛。2．解：（1）对于级数，由，知级数绝对收敛，易知条件收敛，故条件收敛。（2），由，知级数收敛，故绝对收敛。（3）记，，而发散，故发散，令，，当时，，故在区间内单调增加，由此可知，又，故收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。3．解：收敛半径为，当时，得级数，发散；当时，得交错级数，收敛。所求收敛区间为。4．证：收敛半径，当时幂级数绝对收敛，当时幂级数发散，当时，得级数，，，因单调增加，且，故，于是得，由此，故级数发散。5．解：设（），，，，（）。6．解：设（），则，其中，（）。设，则，于是，从而

3、（）。因此。7．解：（），（），因在点处连续，而在点处收敛，从而（）。于是。8．证：1）因，，故是单调减少有下界的数列，所以存在。2）由（1）知，记，因存在，故存在，所以收敛，由比较审敛法知收敛。9．证：1）因为，，所以。2）因为，所以，由知收敛，从而收敛。10．解：级数收敛。理由：由于正项数列单调减少有下界，故存在，记，则。若，则由莱布尼兹定理知收敛，与题设矛盾，故。因为，由根值审敛法知级数收敛。11．解：由（），得。12．解：由，得，于是，从而。