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时间:2020-08-31
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1、无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性:2.判别下列级数是绝对收敛,条件收敛,还是发散?(1);(2);(3)。3.求幂级数的收敛区间。4.证明级数当时绝对收敛,当时发散。5.在区间内求幂级数的和函数6.求级数的和。7.把展开成的幂级数,并求级数的和8.设()证明1)存在;2)级数收敛。9.设,1)求的值;2)试证:对任意的常数,级数收敛。10.设正项数列单调减少,且发散,试问是否收敛?并说明理由。11.已知,计算。12.计算。参考答案:1.解:(1),而收敛,由比较审敛法知收敛。(2),而发散,由比较审敛法的极限形式知发散。(3),,
2、由比值审敛法知收敛。(4),,由根值审敛法知收敛。2.解:(1)对于级数,由,知级数绝对收敛,易知条件收敛,故条件收敛。(2),由,知级数收敛,故绝对收敛。(3)记,,而发散,故发散,令,,当时,,故在区间内单调增加,由此可知,又,故收敛,但非绝对收敛,即为条件收敛。3.解:收敛半径为,当时,得级数,发散;当时,得交错级数,收敛。所求收敛区间为。4.证:收敛半径,当时幂级数绝对收敛,当时幂级数发散,当时,得级数,,,因单调增加,且,故,于是得,由此,故级数发散。5.解:设(),,,,()。6.解:设(),则,其中,()。设,则,于是,从而
3、()。因此。7.解:(),(),因在点处连续,而在点处收敛,从而()。于是。8.证:1)因,,故是单调减少有下界的数列,所以存在。2)由(1)知,记,因存在,故存在,所以收敛,由比较审敛法知收敛。9.证:1)因为,,所以。2)因为,所以,由知收敛,从而收敛。10.解:级数收敛。理由:由于正项数列单调减少有下界,故存在,记,则。若,则由莱布尼兹定理知收敛,与题设矛盾,故。因为,由根值审敛法知级数收敛。11.解:由(),得。12.解:由,得,于是,从而。
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