微积分习题之无穷级数

微积分习题之无穷级数

ID:18268747

大小:973.00 KB

页数:20页

时间:2018-09-16

微积分习题之无穷级数_第1页
微积分习题之无穷级数_第2页
微积分习题之无穷级数_第3页
微积分习题之无穷级数_第4页
微积分习题之无穷级数_第5页
资源描述:

《微积分习题之无穷级数》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、第七部分无穷级数第20页共20页[填空题]1.数项级数的和为。2.数项级数的和为。注:求数项级数的和常用的有两种方法,一种是用和的定义,求部分和极限;另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况,求函数项级数的和函数在此点的值。3.设,若级数收敛,则的取值范围是。分析:因为在时,与是等价无穷小量,所以由可知,当时,与是等价无穷小量。由因为级数收敛,故收敛,因此。4.幂级数在处条件收敛,则其收敛域为。分析:根据收敛半径的定义,是收敛区间的端点,所以收敛半径为。由因为在时,级数条件收敛,因此应填。5.幂级数的收敛半径为。分析:因为幂级数缺奇次方项,不能直接用收敛半径的计算公式。因为,所

2、以,根据比值判敛法,当时,原级数绝对收敛,当时,原级数发散。由收敛半径的定义,应填。20第七部分无穷级数第20页共20页6.幂级数的收敛域为。分析:根据收敛半径的计算公式,幂级数收敛半径为,收敛域为;幂级数收敛域为。因此原级数在收敛,在一定发散。有根据阿贝尔定理,原级数在也一定发散。故应填。7.已知,且对任意,,则在原点的幂级数展开式为。分析:根据幂级数的逐项积分性质,及,得,故应填。8.函数在处的幂级数展开式为。分析:已知,所以。根据函数的幂级数展开形式的惟一性,这就是所求。9.已知,是的周期为的三角级数的和函数,则的值分别为,。20第七部分无穷级数第20页共20页10.设,其中,则。[选择

3、题]11.设常数,正项级数收敛,则级数[](A)发散。(B)条件收敛。(C)绝对收敛。(D)敛散性与的值有关。答C分析:因为,且正项级数收敛,所以收敛。又因为,所以原级数绝对收敛。12.设,则级数[](A)与都收敛。(B)与都发散。(C)收敛,发散。(D)发散,收敛。答C分析:因为,所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数,因此收敛。因为在时与是等价无穷小量,且调和级数发散,所以发散。20第七部分无穷级数第20页共20页13.设,则下列级数中肯定收敛的是[](A)。(B)。(C)。(D)。答D分析:因为,所以。又因为,且收敛,所以收敛。另外,取,可以说明不能选(A)及(C);取,,因为发散,所以发

4、散。14.下列命题中正确的是[](A)若,则。(B)若,且收敛,则收敛。(C)若,且收敛,则收敛。(D)若,且与收敛,则收敛。答D分析:因为,所以。又因为与收敛,所以收敛,因而收敛。故收敛。因为只有当级数收敛时,才能比较其和的大小,所以不能选(A);选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上,显然不对。例如取级数与20第七部分无穷级数第20页共20页可以说明(B)不对,取级数与就可以说明(C)不对。15.下列命题中正确的是[](A)若与都收敛,则收敛。(B)若收敛,则与都收敛。(C)若正项级数发散,则。(D)若,且发散,则发散。答A分析:因为,所以当与都收敛时,收敛。取可以排除选项(B

5、);取排除选项(C);取级数与可以说明(D)不对。16.若级数,都发散,则[](A)发散。(B)发散。(C)发散。(D)发散。答C分析:取可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数,都发散,所以级数,都发散,因而发散。故选(C)。20第七部分无穷级数第20页共20页17.设正项级数收敛,则[](A)极限小于。(B)极限小于等于。(C)若极限存在,其值小于。(D)若极限存在,其值小于等于。答D分析:根据比值判敛法,若极限存在,则当其值大于时,级数发散。因此选项(D)正确。取排除选项(C)。因为正项级数收敛并不能保证极限存在,所以选项(A),(B)不对。18.下列命题中正确的是[](A)若幂级数

6、的收敛半径为,则。(B)若极限不存在,则幂级数没有收敛半径。(C)若幂级数的收敛域为,则幂级数的收敛域为。(D)若幂级数的收敛域为,则幂级数的收敛域为。答D分析:极限只是收敛半径为的一个充分条件,因此选项(A)不对。幂级数没有收敛半径存在而且惟一,所以选项(B)不对。取级数可以排除选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。19.若幂级数在处条件收敛,则级数[]20第七部分无穷级数第20页共20页(A)条件收敛。(B)绝对收敛。(C)发散。(D)敛散性不能确定。答B分析:根据收敛半径的定义,是收敛区间的一个端点,所以原级数的收敛半径为。因此幂级数在处绝对收敛,即级数绝对收敛。20.设

7、函数,而,其中,则的值为[](A)。(B)。(C)。(D)。答D分析:是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式,且延拓后得到的函数连续,根据狄里克莱收敛定理,。[解答题]21.求级数的和。解:因为,所以20第七部分无穷级数第20页共20页。22.已知级数,求级数的和。解:因为,所以。又因为,故。23.判断级数的敛散性。解:因为,且,所以与在时是等价无穷小。又因为级数收敛,所以,根据比阶判敛法知级数收敛

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。