微积分习题之无穷级数

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1、第七部分无穷级数第20页共20页[填空题]1．数项级数的和为。2．数项级数的和为。注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。3．设，若级数收敛，则的取值范围是。分析：因为在时，与是等价无穷小量，所以由可知，当时，与是等价无穷小量。由因为级数收敛，故收敛，因此。4．幂级数在处条件收敛，则其收敛域为。分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的端点，所以收敛半径为。由因为在时，级数条件收敛，因此应填。5．幂级数的收敛半径为。分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为，所

2、以，根据比值判敛法，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散。由收敛半径的定义，应填。20第七部分无穷级数第20页共20页6．幂级数的收敛域为。分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数收敛半径为，收敛域为；幂级数收敛域为。因此原级数在收敛，在一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在也一定发散。故应填。7．已知，且对任意，，则在原点的幂级数展开式为。分析：根据幂级数的逐项积分性质，及，得，故应填。8．函数在处的幂级数展开式为。分析：已知，所以。根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。9．已知，是的周期为的三角级数的和函数，则的值分别为，。20第七部分无穷级数第20页共20页10．设，其中，则。[选择

3、题]11．设常数，正项级数收敛，则级数[](A)发散。(B)条件收敛。(C)绝对收敛。(D)敛散性与的值有关。答C分析：因为，且正项级数收敛，所以收敛。又因为，所以原级数绝对收敛。12．设，则级数[](A)与都收敛。(B)与都发散。(C)收敛，发散。(D)发散，收敛。答C分析：因为，所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。因为在时与是等价无穷小量，且调和级数发散，所以发散。20第七部分无穷级数第20页共20页13．设，则下列级数中肯定收敛的是[](A)。(B)。(C)。(D)。答D分析：因为，所以。又因为，且收敛，所以收敛。另外，取，可以说明不能选(A)及(C)；取，，因为发散，所以发

4、散。14．下列命题中正确的是[](A)若，则。(B)若，且收敛，则收敛。(C)若，且收敛，则收敛。(D)若，且与收敛，则收敛。答D分析：因为，所以。又因为与收敛，所以收敛，因而收敛。故收敛。因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数与20第七部分无穷级数第20页共20页可以说明(B)不对，取级数与就可以说明(C)不对。15．下列命题中正确的是[](A)若与都收敛，则收敛。(B)若收敛，则与都收敛。(C)若正项级数发散，则。(D)若，且发散，则发散。答A分析：因为，所以当与都收敛时，收敛。取可以排除选项(B

5、)；取排除选项(C)；取级数与可以说明(D)不对。16．若级数，都发散，则[](A)发散。(B)发散。(C)发散。(D)发散。答C分析：取可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数，都发散，所以级数，都发散，因而发散。故选(C)。20第七部分无穷级数第20页共20页17．设正项级数收敛，则[](A)极限小于。(B)极限小于等于。(C)若极限存在，其值小于。(D)若极限存在，其值小于等于。答D分析：根据比值判敛法，若极限存在，则当其值大于时，级数发散。因此选项(D)正确。取排除选项(C)。因为正项级数收敛并不能保证极限存在，所以选项(A)，(B)不对。18．下列命题中正确的是[](A)若幂级数

6、的收敛半径为，则。(B)若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。(C)若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。(D)若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。答D分析：极限只是收敛半径为的一个充分条件，因此选项(A)不对。幂级数没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数可以排除选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。19．若幂级数在处条件收敛，则级数[]20第七部分无穷级数第20页共20页(A)条件收敛。(B)绝对收敛。(C)发散。(D)敛散性不能确定。答B分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为。因此幂级数在处绝对收敛，即级数绝对收敛。20．设

7、函数，而，其中，则的值为[](A)。(B)。(C)。(D)。答D分析：是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，。[解答题]21．求级数的和。解：因为，所以20第七部分无穷级数第20页共20页。22．已知级数，求级数的和。解：因为，所以。又因为，故。23．判断级数的敛散性。解：因为，且，所以与在时是等价无穷小。又因为级数收敛，所以，根据比阶判敛法知级数收敛