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1、1在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.设该点为M(0,0,z),由题设
2、MA
3、=
4、MB
5、,即解得即所求点为例1解上一页目录下一页退出2求平行于z轴且过，两点的平面方程.显然D≠0,消去D并整理可得所求的平面方程为例2解因所求平面平行于z轴，故可设其方程为又点都在平面上代入方程得即上一页目录下一页退出3例3解即因此，该方程表示球心为(1,-2,3)，半径为R=4的球面.上一页目录下一页退出例3已知函数,求.解所以.注:该方法主要是把右边的式子都凑成里面的两个量.上一页
6、目录下一页退出例5证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．上一页目录下一页退出例6讨论点是否为函数的连续点.解由于且,故在处连续.上一页目录下一页退出例7.求解因初等函数在(0,1)处连续,故有上一页目录下一页退出例8求解上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出例3求的偏导数.注意到对y求偏导数的时候,x始终不变,所以我们可以先把x的值代入,简化运算.解上一页目录下一页退出证原结论成立．上一页目录下一页退出例5求的偏导数.解由对称性可知上一页目录下一页退出证上一页目录下一页退出例7
7、解上一页目录下一页退出按定义可知：上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出例9设求二阶偏导数.解,,.上一页目录下一页退出问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解上一页目录下一页退出证毕．上一页目录下一页退出边际的经济含义是:在点处,当y保持不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变个单位.例10某汽车生产商生产A,B两种型号的小车，其日产量分别用x,y(单位：百辆)表示，总成本(单位：百万元)为求当x=5,y=3时，两种型号的小车的边际成本，并解释其经济含义.上一页目录下一页退出
8、解总成本函数的偏导数当x=5,y=3时，A型的小车边际成本为B型的小车边际成本为其经济含义是：当A型小车日产量为5百辆，B型小车日产量为3百辆的条件下.上一页目录下一页退出(1)如果B型小车日产量不变而A型小车日产量增加1百辆，则总成本大约增加53百万元；(2)如果A型小车日产量不变而B型小车日产量增加1百辆，则总成本大约增加17百万元.2.偏弹性分析设函数z=f(x,y)在点的偏导数存在，z=f(x,y)对x的偏改变量记为称的相对改变量与自变量x的相对改变量之比上一页目录下一页退出例11设某城
9、市计划建设一批经济住房，如果价格(单位：百元/平方米)为p，需求量(单位：百间)为Q，当地居民年均收入(单位：万元)为y，根据分析调研，得到需求函数为求当p=30,y=3时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解,上一页目录下一页退出,又因此，需求Q对价格p和收入y的偏弹性分别为,其经济含义是：当价格定在每平方米3000元，人均年收入3万元的条件下，若价格每平方米提高1%而人均年收入不变，则需求量将减少9%；若价格不变而人均年收入增加1%，则需求量将增加9%.上一页目录下一页退出上
10、一页目录下一页退出例2求函数的全微分.解故例3计算函数在点(1，2)处的全微分.解,,故三、全微分的计算解所求全微分上一页目录下一页退出解由公式得上一页目录下一页退出28解例1上一页目录下一页退出29解例2上一页目录下一页退出30解例3注：如果函数的自变量只有一个，则求导时要用微分符号d；否则，就要用符号.上一页目录下一页退出31解例4或用求导法则，上一页目录下一页退出32例6求的偏导数.解设,,则.则上一页目录下一页退出33上一页目录下一页退出34解例7求下列函数的偏导数和全微分.所以上一页
11、目录下一页退出35例8解方程两边关于x求偏导数,上一页目录下一页退出36例9解上一页目录下一页退出例4解由因为上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出由得上一页目录下一页退出可知上一页目录下一页退出例7某工厂生产甲、乙两种产品，甲种产品的售价为每吨900元，乙种产品的售价为每吨1000元，已知生产x吨甲种产品和y吨乙种产品的总成本为问甲、乙两种产品的产量为多少时，利润最大？解 设L(x,y)为生产x吨甲种产品和y吨乙种产品所获得的总利润，则上一页目录下一页
12、退出解方程组得x=80,y=120，得唯一驻点(80,120).于是可以断定，当生产80吨甲种产品和120吨乙种产品时，利润最大，且最大利润值为L(80,120)=42000(元).上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出解则上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出二.二重积分的性质性质1若α,β为常数，则性质2若积分区域D由D1，D2组成(其中D1与D2除边界外无公共点)，则性质3若区域D的面积为σ,则性质4如果在区域D上总有，则上一页目录下一页退出特别有性质5设D的面积为,则有性质6.(二
