《微积分初步》期末复习典型例题

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1、微积分初步课程教学辅导《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点.（二）典型例题1．填空题（1）函数的定义域是　　　　　　　　．答案：且.（2）函数的定义域是　　　　　　　　．答案：（3）函数，则．答案：（4）若函数在处连续，则　　．答案：（5）函数，则　　．答案：（6）函数的间断点是　　　　　　．答案：（7）　　　　　．答

2、案：1（8）若，则　　　　　．答案：2．单项选择题（1）设函数，则该函数是（　）．　A．奇函数　B．偶函数　　C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A．B．C．D．答案：C10微积分初步课程教学辅导（3）函数的定义域为（）．A．B．C．且D．且答案：D（4）设，则（）A．　　B．　C．　　　D．答案：C（5）当（）时，函数在处连续.A．0　　　B．1C．　　　D．答案：D（6）当（）时，函数，在处连续.A．0　　　B．1C．　　　D．答案：B（7）函数的间断点是（）A．B．C．D．无间断点答案：A3．计算题（1）．解：（2）解：（3）解：（4）计算极

3、限．解：10微积分初步课程教学辅导（5）计算极限解：二、导数与微分（一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法.（二）典型例题1．填空题（1）曲线在点的切斜率是　　　　　　　　．答案：（2）曲线在点的切线方程是　　　　　　　　．答案：（3）已知，则=　　　　　　　　．答案：=27（（4）已知，则=　　　　　　　　．答案：，=（5）若，则．答案：2.单项选择题（1）若，则=（　）．　　A

4、.2　B.1　C.-1　　D.-2答案：C（2）设，则（　）．A．B．C．D．答案：B（3）设是可微函数，则（）．A．B．C．D．答案：D（4）若，其中是常数，则（）．10微积分初步课程教学辅导A．B．C．D．答案：C3．计算题（1）设，求．解：（2）设，求.解：（3）设，求.解：（4）设，求.解：（5）设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边对求导，得于是得到（6）设，求．解：方程两边对求导，得于是得到三、导数应用（一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法.（二）典型例题1．填空题（1）函

5、数的单调增加区间是　　　　．答案：（2）函数在区间内单调增加，则应满足．10微积分初步课程教学辅导答案：2．单项选择题（1）函数在区间是（）　A．单调增加　　B．单调减少C．先增后减　D．先减后增答案：D（2）满足方程的点一定是函数的（）.A．极值点　　B．最值点C．驻点　D．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确．A．在处连续，则一定在处可微.B．在处不连续，则一定在处不可导.C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D．函数的极值点可能发生在不可导点上.答案：Ａ（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A．B．C．D．答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形

6、，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知令，解得是唯一驻点，且，说明是函数的极小值点，所以当，用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为4的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以令，得，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.此时的费用为（元）4.证明题10微积分初步课程教学辅导（1）证明函数，在定义区间上是单调下降的.证明因为的定义区间为，且，所以在是单调下降的.（2）证明函数在（是单调增加的．

7、证明：因为在（上，有，所以函数在（是单调增加的.四、一元函数积分（一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.3.了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。（二）典型例题1．填空题（1）若的一个原函数为，则.答案：（2）若，则　　　　　．答案：（3）若答案：（4）．答案：（5）．答案：（6）若，则　　　　　．答案：（7