微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-8-综合例题

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1、《微积分A》习题解答习题4.8(P274)221.已知f′2(+cosx)=tanx+sinx，求f(x)的表达式22解法1：f′2(+cosx)d2(+cosx)=[tanx+sinx]d(cosx)22故∫f′2(+cosx)d2(+cosx)=∫[tanx+sinx]d(cosx)∫f′2(+cosx)d2(+cosx)=f2(+cosx)+C1322121cosx∫[tanx+sinx]d(cosx)=∫[2−1+1−cosx]d(cosx)=−−+C2cosxcosx331cosxf2

2、(+cosx)=−−+Ccosx3331(u−)21(x−)2令u=2+cosx，则f(u)=−−+C，即f(x)=−+Cu−232−x3解法2（换元法）：令u=2+cosx，则cosx=u−2，所以222212f′(u)=f′2(+cosx)=tanx+sinx=secx−1+1−cosx=−cosx2cosx12=−(u−)22(u−)2两边对积分，uf′(u)du=1−(u−)22du∫∫2(u−)2331(u−)21(x−)2则f(u)=−−+C，即f(x)=−+Cu−232−x32.利

3、用定积分计算下列极限：112n(1)lim(1++1++L+1+)n→∞nnnni解：设f(x)=1+x，将区间]1,0[n等分，则每个分点坐标为xi=，每个小区间的n1长度Δxi=(i=,2,1L,n)，取ξi=xin112nni1nlim(1++1++L+1+)=lim∑1+⋅=lim∑f(ξi)Δxin→∞nnnnn→∞i=1nnλ→0i=1第4章一元函数积分学第8节综合例题1/10《微积分A》习题解答131122=∫f(x)dx=∫1+xd1(+x)=1(+x)2=2(2−)100330

4、111(2)lim(++L+)n→∞4n2−124n2−224n2−n21i解：设f(x)=，将区间]1,0[n等分，则每个分点坐标为xi=，每个小区间4−x2n1的长度Δxi=(i=,2,1L,n)，取ξi=xin111lim(++L+)n→∞4n2−124n2−224n2−n21111n11=lim(++L+=lim∑⋅n→∞n1222n2n→∞i=1i2n4−()4−()4−()4−()nnnn1n111xπ=λlim→0∑f(ξi)⋅Δxi=∫0f(x)dx=∫02dx=arcsin2=

5、6i=14−x03.求下列定积分2−x(1)∫(x+x)edx−2−x−x解：因为函数xe为偶函数，函数xe为奇函数，故2−x2−x2−x−x−x23∫−2(x+x)edx=2∫0xedx=2∫0xd(−e)=[2−xe−e]0=1[2−2]eπ4(2)∫ln(1+tanx)dx0ππu=−xππ4441−tanu42解法1：∫0ln(1+tanx)dx∫0ln(1+1+tanu)du=∫0ln(1+tanu)duπππ44π4π=∫0ln2du−∫0ln(1+tanu)du=4ln2−∫0ln

6、(1+tanx)dx=8ln2解法2：第4章一元函数积分学第8节综合例题2/10《微积分A》习题解答ππππ44cosx+sinx44∫0ln(1+tanx)dx=∫0ln(cosx)dx=∫0ln(cosx+sinx)dx−∫0lncosxdxππ44π而∫0ln(cosx+sinx)dx=∫0ln[2cos(−x)]dx4πu=−xπ40π4−∫π[ln2+lncosu]du=ln2+∫0lncosxdx84π所以原式=ln28πππ解法3：利用等式∫0xf(sinx)dx=∫0f(sinx

7、)dx2πππ244xsecx∫ln(1+tanx)dx=xln(1+tanx)4−∫dx0001+tanx令x=t2t2ttsecsec4π1πtπππ4t4ln2−∫0td()=ln2−∫0td()4444841+tan1+tan44ππππ1tππt=ln2−∫d1(+tan)=ln2−ln(1+tan)480t44841+tan04πππ=ln2−ln2=ln248812224.已知f)2(=，f′)2(=0，∫0f(x)dx=1，求∫0xf′′(x)dx2222222解：∫0xfd′(

8、x)=xf′(x)−2∫0fx′(x)dx=−2∫0xdf(x)022=−[2xf(x)−∫f(x)dx]=−1[2−]1=000x2−t25.设F(x)=∫edt，求0(1)F(x)的极值；(2)曲线y=F(x)的拐点的横坐标；第4章一元函数积分学第8节综合例题3/10《微积分A》习题解答32(3)∫xF′(x)dx−24−x解：F′(x)=2xe(1)令F′(x)=0，得驻点x=0，由于x<0时，F′(x)<0，x>0时，F′(x)>0，故x=0为极小值点，极小值F)0(=0.−x441(2