微积分（上） 课后习题答案解析试卷 3-7综合例题

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1、《微积分A》习题解答习题3.7(P201)1．选择题sin6x+xf(x)6+f(x)(1)若lim=0，则lim=()x→0x3x→0x2A.0B.6C.36D.∞6+f(x)6(x−sin6x)+(sin6x+xf(x))解：lim=limx→0x2x→0x36x−sin6xsin6x+xf(x)6x−sin6x=lim+lim=limx→0x3x→0x3x→0x3134由泰勒6x−6[x−6(x)+o(x)]343！36x+o(x)lim=lim=36，故选（C）.公式x→0x3x→0x3(2)设函数f(x)在(

2、−∞,+∞)内连续，其导函数f′(x)的图形如图3-32所示，则f(x)有y()A.一个极小点和两个极大点.B.两个极小点和一个极大点.oxC.两个极小点和两个极大点.图3−32D.三个极小点和一个极大点.解：由图可知共有3个驻点及一个不可导，即只有这四个点可能是极值点，设这四个点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.在点x1附近，其导数是从正变负，故该点是极大值点;在点x2附近，其导数是从负变正，故该点是极小值点；在点x3附近，其导数是从正变负，故该点是极大值点；在点x4附近，其导数是从负变正，故该点是极小值点；故选

3、（C）.(3)设函数y=f(x)满足关系式y′′−2y′+4y=0，且f(x0)>0，f′(x0)=0则f(x)在点x0处()A.有极大值.B.有极小值.C.在x0的某邻域内，f(x)单调增加.D.在x0的某邻域内，f(x)单调减少.第3章微分中值定理及其应用第7节综合例题1/16《微积分A》习题解答解：由f(x0)>0，f′(x0)=0及题设的关系式可得：y′′(x0)=2y′(x0)−4y(x0)=0−4y(x0)=−4f(x0)<0由极值存在的第二充分条件知：f(x)在x0处取得极大值.故选（A）.11(4)方程

4、x4+x2−cosx=0在(−∞,+∞)内有()个根A.0B.1C.2D.无穷多11解：设f(x)=x4+x2−cosx，由于f(x)是偶函数，且f)0(=−1≠0，故我们可在11,0(+∞)上讨论，即f(x)=x4+x2−cosxx∈,0(+∞)1142当x∈,1[+∞)时，f(x)=x+x−cosx≥1+1−1=1≠011即当x∈,1[+∞)时，方程x4+x2−cosx=0没有根311−1−42当x∈)1,0(时，f′(x)=x+x+sinx>0+0+0=042即当x∈)1,0(时，f(x)单调增加，又f)0(=−

5、1<0，f)1(≥1>0，由零点定理及单调性得：存在惟一的ξ∈)1,0(，使得f(ξ)=0，即ξ是方程1111x4+x2−cosx=0的根，又由偶函数的性质知：−ξ也是方程x4+x2−cosx=0的根.故选（C）.(5)已知函数f(x)在区间1(−δ1,+δ)内具有二阶导数，f′(x)严格单调减少，且f)1(=f′)1(=1，则()A.在区间1(−δ)1,和1,1(+δ)内均有f(x)xC.在区间1(−δ)1,内f(x)x

6、D.在区间1(−δ)1,内f(x)>x，在区间1,1(+δ)内f(x)

7、值，则函数F(x)=f(x)g(x)在点x=a处()A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.不能确定是否取极值解：不能确定是否取极值.例如：⎧−1−x6x≤04f(x)=1−x，g(x)=⎨，考察点x=0处4⎩−1−2xx>0显然，函数f(x)在点x=0处二阶可导，且取得极大值；6g(x)−g)0(−1−x−(−)15g−′)0(=lim=lim=lim−x=0−−−x→0x−0x→0xx→04g(x)−g)0(−1−2x−(−)13g+′)0(=lim=lim=lim−2x=0+++x→0x−0x→0xx→0

8、即g′)0(=0⎧−6x5x≤0故g′(x)=⎨3⎩−8xx>0′−′5g(x)g)0(−6x−04g−′′)0(=lim=lim=lim−6x=0−−−x→0x−0x→0xx→0′−′3g(x)g)0(−8x−02g+′′)0(=lim=lim=lim−8x=0+++x→0x−0x→0xx→0即g′′)0(=0又当x∈(−δ)0