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《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-8综合练习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、主要内容原函数原函数不定积分不定积分分部分部直接直接基积分法积分法基积分法积分法积分法积分法本本积积分分第一换元法第一换元法(三角)有理(三角)有理表表第二换元法第二换元法函数的积分函数的积分问题1:问题1:问题2:问题2:曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理定积分定积分广义积分广义积分定积分的定积分的的性质的性质定积分定积分计算法计算法牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式b∫f(x)dx=F(b)−F(a)a的特点的特点所求量所求量微元法解题步骤解题步骤定积分应用中
2、的常用公式定积分应用中的常用公式xe1(+sinx)例1求∫dx.1+cosxxxxe1(+2sincos)22解原式=∫dx2x2cos2x1xx=∫(e+etan)dx2x22cos2xxxxxx=∫[(ed(tan)+tande]=∫d(etan)222xx=etan+C.22ln(x+1+x)+5例2求∫dx.21+xQx++x2+′解[ln(1)]512x1=⋅1(+)=,222x+1+x21+x1+x22原式=∫ln(x+1+x)+5⋅d[ln(x+1+x)+]5322=[ln(x+1+x)+]52+C
3、.3x+sinx例3求∫dx.1+cosxxxx+2sincos解原式=∫22dx2x2cos2xx=∫dx+∫tandx2x22cos2xxx=xtan−∫tandx+∫tandx222x=xtan+C.2πsinx例4求∫2dx.0sinx+cosxππsinxcosx解由I=∫2dx,设J=∫2dx,0sinx+cosx0sinx+cosxππ则I+J=∫2dx=,02ππsinx−cosxd(cosx+sinx)I−J=2dx=−2∫∫=.00sinx+cosx0sinx+cosxππ故得2I=,即I=.2
4、4212例5求∫−min{,x}dx.2x212解原式=2∫min{,x}dx0x⎧22121⎪x,x≤⎧⎪x,0≤x≤12xQmin{,x}=⎨=⎨1x⎪121⎪,x>1,x>⎩x⎩xx2121212原式=2∫min{,x}dx=2∫xdx+2∫dx0x01x2=+2ln.2330π例6求nsinnxdx∫10πn令nx=t130π解：原式∫sintdtn10π由周期性20π∫sintdtn040=nf(u)例7设f(u)在u=0的某邻域内连续,且lim=A,u→0ud1求lim→∫f(xt)dtx0dx0d1d
5、xf(u)解lim∫f(xt)dt令u=xtlim∫dux→0dx0x→0dx0x⎡x⎤d⎡1x⎤⎢f(x)∫0f(u)du⎥=lim⎢∫0f(u)du⎥=lim−2x→0dx⎣x⎦x→0⎢xx⎥⎣⎦f(x)f(x)AA=lim−lim=A−=x→0xx→02x22x例8设f(x)连续,且满足∫f(x)dx=f(x)−,20求f(x).解由变上限函数的可导性可推知f(x)可导,且f)0(=2等式两端对x求导,得f(x)=f′(x),f′(x)即=,1f(x)x两端积分得lnf(x)=x+C1⇒f(x)=Ce⇒C=2
6、x由f)0(=2∴f(x)=2e1x例9()2(),().设函数g(x)连续,f(x)=∫x−tgtdt求f′x201x22解：f(x)=∫(x−2xt+t)g(t)dt201xx1x22=x∫g(t)dt−x∫tg(t)dt+∫tg(t)dt200202xxxf′(x)=x∫g(t)dt+g(x)−∫tg(t)dt02022x−xg(x)+g(x)2xx=x∫g(t)dt−∫tg(t)dt00x=∫(x−t)g(t)dt0例10设f(x)可导，且f)0(=,0f′)0(=.1令xn−1nnF(x)=∫tf(x−t
7、)dt0F(x)求lim.2nx→0xF(x)0解：lim是“”型不定式.2nx→0x0n1xnn令u=x−t,则F(x)=∫f(u)du.n0n−1nnF(x)xf(x)1f(x)于是lim=lim=lim2n2n−1nx→0xx→02nx2nx→0xn1f(x)−f)0(11=lim=f′)0(=n2nx→0x−02n2n书中例7.证明广义中值定理：设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得bb∫af(x)g(x)dx=f(ξ)∫ag(x)dx证：若g(x
8、)≡0，则结论显然成立.不妨设在[a,b]上g(x)>0.因为函数f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在[a,b]上取得最大值M与最小值m.bbbm∫g(x)dx≤∫f(x)g(x)dx≤M∫g(x)dxaaab因g(x)>0，则必有∫ag(x)dx>0.b∫f(x)g(x)dxam≤≤Mb于是，得∫g(x)dxa由连续函数的介值定理，存在ξ∈[a,b]，
