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《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 5-9-综合例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《微积分A》习题解答习题5.9(P347)⎧2x<11.设有微分方程y′−2y=ϕ(x)，其中ϕ(x)=⎨，试求(−∞,+∞)内的连续函⎩0x>1数y=y(x)，使之在(−∞)1,和,1(+∞)内都满足所给方程，且满足条件y)0(=0.⎧y′−2y=2解：先解初值问题⎨（一阶线性非齐次微分方程）⎩y0()=0∫2dx⎡−∫2dx⎤2x−2x2x解得：y=e⎢⎣∫2edx+C⎥⎦=e[C−e]=Ce−12x2由初始条件可得：C=1，故y=e−1由此得：y)1(=e−1⎧y′−2y=0再解初值问题⎨（一阶线性齐次微
2、分方程）2⎩y)1(=e−12x−2−22x解得：y=Ce由初始条件可得：C=1−e，故y=1(−e)e2x⎧y=e−1x≤1所以方程的解为：⎨−22x⎩y=1(−e)ex>12．求解初值问题⎧y′′+4y=3sinx,−π≤x≤π⎪⎨ππy()=,0y′()=1⎪⎩22⎧y′′+4y=3sinx,0≤x≤π⎪解：由初值条件，知先求⎨ππ)1(y()=,0y′()=1⎪⎩22这是二阶线性非齐次微分方程.2对应的齐次方程的特征方程为r+4=0，特征根为r2,1=±2i，对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C
3、2sin2x，设非齐次方程的特解为y1=acosx+bsinx（不是特征根）i⎧a=0代入非齐次方程得：⎨，所以y1=sinx⎩b=1由线性非齐次方程的通解结构定理知通解为y=C1cos2x+C2sin2x+sinx，第5章常微分方程第9节综合例题1/10《微积分A》习题解答1由初始条件可得C1=1，C2=−，21所以方程在区间,0[π]上的解为y=cos2x−sin2x+sinx2由y及y′的连续性可得y)0(=1，y′)0(=0⎧y′′+4y=−3sinx,−π≤x<0再求⎨)2(⎩y)0(=,1y′)0(
4、=0观察方程)1(、)2(的非齐次项可知，y2=−y1是方程)2(的特解，即y2=−sinx由线性非齐次方程的通解结构定理知通解为y=C1cos2x+C2sin2x−sinx1由初始条件可得C1=1，C2=，21所以方程在区间[−π)0,上的解为y=cos2x+sin2x−sinx2⎧1cos2x+sin2x−sinx−π≤x<0⎪2故方程的解为y=⎨1⎪cos2x−sin2x+sinx0≤x≤π⎩23．已知线性常系数齐次方程的特征根，试写出相应的阶数最低的微分方程.(1)r1=−2,r2=−32解：特征方程为
5、(r+2)(r+)3=0，即r+5r+6=0，所以所求方程为y′′+5y′+6y=0(2)r1=r2=122解：特征方程为(r−)1=0，即r−2r+1=0，所以所求方程为y′′−2y′+y=0(3)r2,1=−1±2i2解：特征方程为(r+1−2i)(r+1+2i)=0，即r+2r+5=0，所以所求方程为y′′+2y′+5y=0(4)r2,1=±i，r3=−132解：特征方程为(r+i)(r−i)(r+)1=0，即r+r+r+1=0，所以所求方程为第5章常微分方程第9节综合例题2/10《微积分A》习题解答y′
6、′′+y′′+y′+y=0ux4．利用代换y=，将方程y′′cosx−2y′sinx+3ycosx=e化简，并求出原方程cosx的通解.u解：令y=，则u=ycosx，cosxdudydy1du=cosx+y(−sinx)，所以=(+ysinx)，dxdxdxcosxdx22dudydy=cosx+2(−sinx)+y(−cosx)，所以22dxdxdx22dy1dudy=(+2sinx+ycosx)dx2cosx2dxdx22dydydux把y，，的表达式代入原方程，并整理得+4u=e，解此二阶线性常系数dx
7、22dxdx1x非齐次微分方程得：u=C1cos2x+C2sin2x+e，511x所以原方程的通解为y=(C1cos2x+C2sin2x+e)cosx5xcos2xe或y=C1+2C2sinx+cosx5cosx5．设函数y=y(x)在(−∞,+∞)内具有二阶导数，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数.2dxdx3(1)试将x=x(y)所满足的微分方程+(y+sinx)()=0变换为y=y(x)满足的2dydy微分方程.3(2)求变换后的微分方程满足初始条件y)0(=0，y′)0(=的解.22′′dx
8、1dxy解：(1)=，=−，代入原方程并整理得：y′′−y=sinxdyy′dy2(y′)−3第5章常微分方程第9节综合例题3/10《微积分A》习题解答2(2)对应的齐次方程的特征方程为r−1=0，特征根为r2,1=±1，x−x对应的齐次方程的通解为y=C1e+C2e，设非齐次方程的特解为y0=acosx+bsinx（i不是特征根）⎧a=0⎪1代入非齐次方程，得⎨1，所以y0=−sin
