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1、1基本概念函数概念函数的特性反函数2一、基本概念一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的全体.总体组成集合的事物称为该集合的元素.个体a∈M,a∉M,A={a,a,",a}有限集12nM={xx所具有的特征}无限集若x∈A,则必x∈B,就说A是B的子集.记作A⊂B.3数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:N⊂Z,Z⊂Q,Q⊂R.若A⊂B,且B⊂A,就称集合A与B相等.(A=B)例如A={1,2},2C={xx−3x+2=0},则A=C.不含任何元素的集合称为空集.(记作∅)2例如,{xx∈R,x+1=
2、0}=∅规定空集为任何集合的子集.42.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.∀a,b∈R,且a0.数集{xx−a<δ}称为点a的δ邻
3、域,点a叫做这邻域的中心,叫做这邻域的半径.δU(a,δ)={xa−δ
4、0)−a≤x≤a;x≥a(a>0)x≥a或x≤−a;9二、函数概念二、函数概念例圆内接正多边形的周长SSS4S563πSn=2nrsin圆内接正n边形nOn=3,4,5,")πrn10≠邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量W确定邮件的费用C。WW1W2……WNCC1C2……CN≠自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T。Tot≠真空中初速为零的自由落体，下落路程S与时间t的关系为：12s=gt，设这一运动花费T秒钟，则t∈[0,T]。112定义给定两个实数集D和M，若有一个对应法则f，使
5、D内的每一个数x，都有唯一的一个数y∈M与它对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作y=f(x)因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域当x∈D时,称f(x)为函数在点x处的函数值.000函数值全体组成的数集W={yy=f(x),x∈D}称为函数的值域.12函数的两要素:定义域与对应法则.xDx(0)自变量对应法则f()f(x)Wy0因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.2例如，y=1−xD:[−1,1]1y=D:(−1,1)21−x13如果自变量在定y义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函W数叫做单值函数，否y⋅(x,y)
6、则叫多值函数．oxx222例如，x+y=a．D定义:点集C={(x,y)y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图形.14例1求y=arcsin2−x的定义域和值域。解：0≤2−x≤1⇒函数的定义域为:1≤x≤2,π函数的值域为:0≤y≤.2x例2求y=cotπx+arccos2的定义域.解：⎧πx≠kπ⎧x≠k,k=0,±1,±2,"⎨⇒⎨xx≤0⎩2≤1⎩得定义域为x<0且x≠−1,−2,"15例3设f(x)的定义域[0，1]，求(1)f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域；(2)f(lnx)的定义域。⎧0≤x+a≤1⎧−a≤x≤1−a解:(1)
7、⎨⇒⎨⎩0≤x−a≤1⎩a≤x≤1+ax应取在a≤x≤1-a,而a≤1-a则:若a>1/2，定义域为空集;若a<1/2，定义域为[a,1-a];(2)0≤lnx≤1,1≤x≤e为定义域。16几个特殊的函数举例(1)符号函数y1⎧1当x>0ox⎪y=sgnx=⎨0当x=0-1⎪⎩−1当x<0x=sgnx⋅x17(2)取整函数y=[x]y[x]表示不超过x的最大整数4321ox-4-3-2-1-112345-2-3-4阶梯曲线18(3)狄利克雷函数⎧1当x是有理数时y=D(x)=⎨⎩0当x是无理数时y1•ox无理数点有理数点19(4)取最值函数y=max{f(x)
8、,g(x)}y=min{f(x),g(
