广州大学版高数课件高数.ppt

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1、第二章导数与微分一、引例.1.变速直线运动的瞬时速度.设某物体作变速直线运动，其位移S与时间t的函数关系为S=S(t).问：在任一时刻t0的速度应当怎样定义？匀速直线运动：第一节导数的定义由时刻t0到时刻t0+t走过的位移为若当t0时，平均速度的极限存在.则称该极限值为该物体在t0时刻的瞬时速度.即变速直线运动：SS(t0+t)S(t0)0S考虑时刻t0附近的某时刻t0+t平均速度：2.曲线的切线斜率设曲线方程为y=f(x).问:怎样求曲线上任一点的切线斜率.曲线的切线：对于曲线C上任一点M，考虑其附近一点N.(N可在M的左侧

2、，也可在M的右侧).让点N沿曲线C趋向点M，若割线MN有极限位置MT.则直线MT就称为曲线C在点M处的切线.Ty=f(x)Mxx0x0+xxy0NCy0+yy0记点M的坐标为(x0,y0);点N的坐标为(x0+x,y0+y).注意到y0=f(x0),y=f(x0+x)f(x0)则割线MN的斜率,(为割线MN的倾角).(为切线MT的倾角).所以当N沿曲线C趋向M时，此时,割线MN的斜率无限地接近于切线MT的斜率k.3.非均匀细杆的线密度.设有一根质量不均匀的细杆，取坐标系如图，其一端点为坐标原点，另一端点为杆长l,对

3、于[0,l]上的任一点x,在[0,x]上的质量是x的函数，记为m=m(x).所以在上的质量为称为细杆在上的平均线密度.x0xx+xl当若的极限存在，则称该极限值为细杆在点x处的线密度.即：二、导数的定义设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,当自变量x在x0处有增量x(点x0+xU(x0))时，相应的函数有增量y=f(x0+x)f(x0);如果,y与x之比，当x0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导.并称这个极限值为函数y=f(x)有点x0处的导数,记为也可记作即(1)定义1.导数定义式(1

4、)的不同形式：(2)和(3)(记x=x0+x)注1：若不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.特别地，若也称函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.例1.下列各题中,均假定f'(x0)存在,指出A表示什么:(1)解:(2)解:(3)解:注2：若f(x)在(a,b)内每一点处都可导，则称函数f(x)在(a,b)内可导.此时，对于x(a,b).都对应着f(x)的一个确定的导数值，从而构成一个新的函数，称为函数y=f(x)的导函数，简称导数，即(4)记为三、求导数举例例2.求函数f(x)=C(C为常数)的导数.解：即=0例3.设y

5、=xn,n为正整数.求解：所以即：特别：由于yn=1时，注意：例如(2)当x0时对于幂函数y=xu.(u为常数).有(1)当x>0时例4.设y=sinx.求y'解：所以由于y类似地，对y=cosx,利用可得即例5.解：令则所以由于y即：特别:解：即：类似地，由可得由于y所以例6.设y=lnx,x0求y'求函数f(x)=

6、x

7、=x,x0.x,x<0.在x=0处的导数.解：所以不存在.即f(x)=

8、x

9、在x=0处不可导.例7由于注：左导数：右导数：如果，函数f(x)在点x0处存在左(右)导数，则称f(x)在点x0处

10、左(右)可导.y=f(x)在点x0处可导都存在且相等.在x=a处有右导数，在x=b处有左导数.函数f(x)在[a,b]上可导:是指f(x)在(a,b)内可导，四、导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率.即：fx=tanTy=f(x)MxyCx0注1：法线：过点M(x0,f(x0))且与切线垂直的直线称为曲线y=f(x)在点M处的法线.注2：(1)当f(x0)存在且不为0时，曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处切线方程：y－f(x0

11、)=f(x0).(x–x0)法线方程：(2)当f(x0)＝0时，曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处：(3)当f(x0)=.曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处f(x)连续：法线方程：x=x0切线方程：y=y0法线方程：y=y0切线方程：x=x0解：显然点M(2,0)不在曲线上.设所求切线的切点为N(x0,y0)且切线的斜率k,有所以，所求切线的方程为求过点M(2,0)且与曲线相切的直线方程.例8又点M(2,0)在切线上，所以故从而所求切线方程为即：解：曲线在0(0,0)的切线为x=0(即y轴)法线为y=0(即x轴

12、)0xy求曲线在原点O(0,0)处的切线、法线方程.例9五、函数的可导性与连续性的关系若y=f(x)在x0处可导y=f(x)在x0处连续.证明：结论：反之不一定成立.类似可证：设y=f(x)